Lorentzův faktor
Author
Albert FloresJako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace) a podle kterého se pro pohybující se objekt mění čas, vzdálenost a relativistická hmotnost.
Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako :\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}, kde v je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas t, \tau je vlastní čas a c je rychlost světla ve vakuu.
Dalším často se opakujícím výrazem je \frac{v}{c}, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se \beta. :\beta \equiv \frac{v}{c}
Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako :\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.
Hodnoty
Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých c roste nade všechny meze.
\beta | \gamma | \gamma^{-1} |
---|---|---|
0,010 | 1,000 | 1,000 |
0,100 | 1,005 | 0,995 |
0,200 | 1,021 | 0,980 |
0,300 | 1,048 | 0,954 |
0,400 | 1,091 | 0,917 |
0,500 | 1,155 | 0,866 |
0,600 | 1,250 | 0,800 |
0,700 | 1,400 | 0,714 |
0,800 | 1,667 | 0,600 |
0,866 | 2,000 | 0,500 |
0,900 | 2,294 | 0,436 |
0,990 | 7,089 | 0,141 |
0,999 | 22,366 | 0,045 |
Přibližné vyjádření
Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako :\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.
Aproximaci \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti \beta vykazuje tato aproximace chybu do 1 %, pro rychlosti \beta vykazuje chybu menší než 0,1 %.
Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno m značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci. +more) Například relativistický výraz pro hybnost :\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} přejde pro \gamma \approx 1\, na :\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.
Podobně vztah pro energii :E = \gamma m c^2 přejde pro \gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2 na klasický tvar :E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,.
V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu \beta^2 a vyšší, takže je \gamma\approx 1 a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci. +more : x^\prime = x - \beta ct : y^\prime = y : z^\prime = z : ct^\prime = ct - \beta x \,.
Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí \gamma :\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \, což lze také přepsat do Taylorovy řady :\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.
Související články
Speciální teorie relativity * Lorentzova transformace * Bezrozměrná rychlost