Cesko.wiki Minimální polynom (teorie těles)
Author
Albert FloresMinimální polynom je v teorii těles v matematice polynom s předepsanými vlastnostmi, který je definován nad daným tělesem. Jejím hlavním účelem je charakterizovat algebraické vlastnosti určitého prvku z rozšířeného tělesa. Minimální polynom je jedinečný a je nejmenším stupněm monického polynomu, který má daný prvek jako kořen. Tato vlastnost je důležitá při studiu rozšíření těles a jejich algebraických vlastností. Minimální polynom se používá například při výpočtech lineárních kombinací tělesových prvků, určování polynomiálního rozšíření těles a faktorizaci polynomů. V článku jsou popsány vlastnosti minimálního polynomu, možné způsoby jeho hledání a jeho využití v teorii těles.
Minimální polynom je pojem z teorie těles, podoboru abstraktní algebry.
Definice
Nechť S/T je tělesové rozšíření a je dán prvek a\in S. Pak je minimálním polynomem prvku a takový monický polynom z polynomiálního okruhu T[x], kterého je a kořenem a který je mezi takovými polynomy nejmenšího stupně.
Existence a jednoznačnost
Minimální polynom může existovat pouze k algebraickým prvkům - pokud je prvek transcendentní a tedy není kořenem žádného polynomu z T[x], pak nelze hledat mezi takovými polynomy polynom monický a nejnižšího stupně.
Je-li ovšem prvek a algebraický, pak je množina všech polynomů, jejichž je kořenem, vlastním ideálem. A protože T[x] je oborem hlavních ideálů, jedná se o hlavní ideál generovaný nějakým polynomem r(x), ke kterému je jednoznačně asociovaný monický polynom, což je hledaný minimální polynom.
Vlastnosti
Minimální polynom musí být ireducibilní.
Příklady
Rozšíření \mathbb{R}/\mathbb{Q}, tedy tělesa reálných čísel nad tělesem racionálních čísel, sice není algebraické, ale některé jeho prvky ano: Například a=\sqrt{2} je kořenem polynomu p(x)=x^2-2, který je přímo i jeho minimálním polynomem.