Cesko.wiki Oortovy konstanty
Author
Albert FloresOortovy konstanty se označují písmeny A a B. Vycházejí z Lindbladova-Oortova modelu, který předpokládá, že pohyb hvězd ve slunečním okolí lze vysvětlit jako rotaci okolo vzdáleného středu (galaktického centra). Jedná se tedy o pohyb uspořádaným způsobem kolmo na průvodič. Pro sluneční okolí jsou hodnoty
A \approx 13\, \mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}
B \approx -13\, \mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}
Odvození
V odvození se předpokládá, že okolní hvězdy jsou výrazně blíže ke Slunci než ke galaktickému středu. Lze se proto omezit pouze na lineární závislosti. +more Tento předpoklad je pro hvězdy do vzdálenosti 1 kpc dobře splněn. Dále se předpokládá, že je galaktický disk tenký a že je galaktická šířka pro okolní hvězdy blízká nule, tj. b \approx 0.
Indexem _0 se označují proměnné vztažené ke Slunci. Definujme tedy vzdálenost Slunce od galaktického centra R_0 , okamžitou rychlost obíhání Slunce \theta_0 a úhlovou rychlost Slunce (z definice pro úhlovou rychlost tuhého tělesa)
\omega_0 = \frac{\theta_0}{R_0} . +moresvg|náhled'>Schéma slunečního okolí Uvažujme hvězdu ve vzdálenosti d od Slunce a R od galaktického středu s galaktickou délkou l , která obíhá rychlostí \theta a úhlovou rychlostí \omega. Označme úhel, který svírá vektor rychlosti hvězdy se zorným paprskem \alpha (viz obrázek).
První Oortova konstanta
Je zřejmé, že radiální rychlost hvězdy (tj. rychlost ve směru zorného paprsku) bude
v_{R\star} = \theta \cos{\alpha} .
Víme-li navíc, že pohyb Slunce ve směru zorného paprsku je
v_{R0} = \theta_0 \sin{l} ,
můžeme zapsat relativní radiální rychlost hvězdy vůči Slunci jako
v_R = \theta \cos{\alpha} - \theta_0 \sin{l} .
Ze sinové věty pro trojúhelník s vrcholy Slunce, hvězdy a galaktický střed plyne
\frac{\sin{(90^\circ + \alpha)}}{R_0} = \frac{\sin{l}}{R}
\frac{\cos{\alpha}}{R_0} = \frac{\sin{l}}{R}
a tedy
v_R = \left( \frac{\theta}{R} - \frac{\theta_0}{R_0} \right) R_0 \sin{l} = (\omega - \omega_0) R_0 \sin{l} .
Protože je \omega(R) , použijeme na závorku v předchozím vztahu Taylorův rozvoj do lineárního členu.
(\omega - \omega_0) = \left(\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}R} \right)_0 (R - R_0)
Spočítáme derivaci
\left(\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}R} \right)_0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R} \left( \frac{\theta}{R} \right)_0 = \frac{1}{R_0} \left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right)_0 - \left(\frac{\theta}{R^2} \right)_0
a za již zmíněného předpokladu, že jsme v blízkosti Slunce, je
R - R_0 \approx -d \cos{l} .
Po dosazení dostaneme
v_R = -\left[\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right)_0 - \left(\frac{\theta}{R}\right)_0 \right] d \sin{l} \cos{l} = \frac{1}{2} \left[\frac{\theta}{R} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right]_0 d \sin{(2l)} .
První Oortovu konstantu definujeme předpisem
A = \frac{1}{2} \left[\frac{\theta}{R} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right]_0 ,
pak lze relativní radiální rychlost zapsat také jako
v_R = A d \sin{(2l)} .
Druhá Oortova konstanta
Druhá Oortova konstanta souvisí s pohybem kolmo na směr zorného paprsku, neboli s tečnou složkou rychlosti. Pro hvězdu je tečná rychlost
v_{T\star} = \theta \sin{\alpha}
a pro Slunce je
v_{T0} = \theta_0 \cos{l} ,
je tedy zřejmé, že tečná rychlost hvězdy vzhledem ke Slunci je
v_T = \theta \sin{\alpha} - \theta_0 \cos{l} .
Z geometrie (viz obrázek) plyne
R \sin{\alpha} + d = R_0 \cos{l} .
Po dosazení dostaneme
v_T = (\omega - \omega_0) R_0 \cos{l} - \omega d
a díky tomu, že jsme v blízkosti Slunce, můžeme také psát
\omega d = \omega_0 d + (\omega - \omega_0) d \approx \omega_0 d .
Stejným postupem jako při odvozování Oortovy konstanty A vyjde
v_T = -\left[ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} - \frac{\theta}{R} \right]_0 d \cos^2{l} - \omega_0 d = \frac{1}{2} \left[ \frac{\theta}{R} - \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right]_0 d \cos{(2l)} - \frac{1}{2} \left[ \frac{\theta}{R} + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right]_0 d .
Po zavedení druhé Oortovy konstanty předpisem
B = - \frac{1}{2} \left[ \frac{\theta}{R} + \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right]_0
můžeme tečnou relativní rychlost zapsat jako
v_T = A d \cos{(2l)} + B d .
Použití
Z Oortových konstant lze spočítat např. gradient rychlosti nebo úhlovou rychlost. Pro gradient rychlosti obě konstanty sečteme
A + B = -\left( \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}R} \right)_0 \approx 0 .
Nulový gradient je zde díky tomu, že v okolí Slunce jsou Oortovy konstanty A \approx -B , z toho vyplývá, že je rotační křivka ve slunečním okolí plochá.
Odečtením konstant dostaneme úhlovou rychlost
A - B = \left(\frac{\theta}{R}\right)_0 = \omega_0 \approx 26\, \mathrm{km\, s^{-1}\, kpc^{-1}} ,
hodnota je opět pro Slunce. Z ní lze odhadnout periodu obíhání Slunce okolo středu Galaxie T_0 = 250\,\mathrm{Myr}.
