Podobnost (geometrie)

Tvary se stejnou barvou jsou podobné Podobnost je geometrické zobrazení Euklidovského prostoru do sebe, které násobí všechny vzdálenosti stejným koeficientem, tzv. měřítkem podobnosti. Dva geometrické útvary v Euklidově prostoru jsou podobné, pokud oba mají přesně stejný tvar. Přesněji řečeno, jeden je shodný s útvarem, získaným jako výsledek rovnoměrného zmenšení či zvětšení druhého a jeho případné rotace, posunutí a zrcadlení. Nejjednodušším příkladem podobného zobrazení je stejnolehlost. Podobnost je speciálním případem afinity. Speciálním případem podobnosti, je-li koeficient podobnosti roven 1, je shodnost.

Poměr vzdálenosti dvou bodů daného geometrického útvaru a vzdálenosti odpovídajících dvou bodů jiného geometrického útvaru (referenčního) je u podobných útvarů shodný pro každou takovou dvojici bodů a nazývá se koeficient podobnosti. Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Podobnost v rovině

Pro rovinné útvary z toho vyplývá, že odpovídající hrany podobných mnohoúhelníků jsou ve vzájemném poměru a odpovídající úhly si jsou rovny.

Například všechny kružnice, čtverce a rovnostranné trojúhelníky si jsou podobné. Naopak elipsy si podobné být nemusí, stejně tak jako hyperboly.

Zpravidla se za speciální případ podobnosti považuje i shodnost, tedy podobnost s koeficientem podobnosti k=1. Všechny shodné tvary jsou tedy zároveň podobné (některé učebnice výslovně vydělují shodné trojúhelníky z definice podobných trojúhelníků, takže musí být rozdílné nejen tvary, ale i jejich velikosti, aby se daly považovat za podobné).

Podobné trojúhelníky

Trojúhelníky \triangle ABC a \triangle DEF jsou podobné (píšeme \triangle ABC\sim\triangle DEF \, ), pokud vyhoví jedné z následujících vět:

# Věta sss - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících stran, jsou si podobné. #* odpovídající strany mají délky ve stejném poměru, takže platí {AB \over DE} = {BC \over EF} = {AC \over DF} = k a trojúhelníky jsou si podobné. +more # Věta sus - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou si podobné. # Věta uu - Každé dva trojúhelníky, které mají dva úhly stejné, jsou si podobné. #* je-li úhel \angle BAC roven \angle EDF a \angle ABC je roven \angle DEF, pak to znamená, že i \angle ACB je roven \angle DFE a trojúhelníky jsou si podobné. # Věta Ssu - Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících stran a shodují se v úhlu naproti větší straně, jsou si podobné. Podobné trojúhelníky jsou tedy takové, které mají stejný tvar, ale jinou velikost (tvar trojúhelníku je definován jeho úhly). Je to možné říci i tak, že jeden trojúhelník je zvětšením (či zmenšením) druhého.

Podobné mnohoúhelníky

Podobné obdélníky Tuto myšlenku je možné rozšířit na mnohoúhelníky s více stranami. +more U jakýchkoli dvou podobných mnohoúhelníků si jsou odpovídající strany přímo úměrné. Nicméně pouze úměrnost stran není dostatečná k zajištění podobnosti mnohoúhelníků kromě trojúhelníků, takže odpovídající úhly rovněž musí být shodné.

Odkazy

Reference

Související články

Geometrické zobrazení * Zobrazení

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie