Posunutí (geometrie)

Geometrické posunutí.

V geometrii představuje posunutí (translace) geometrické zobrazení v afinním prostoru, které je charakterizováno tím, že každý bod se zobrazí na bod posunutý o stejný vektor, tzv. vektor posunutí, který posunutí jednoznačně určuje.

Posunutí v euklidovském prostoru se řadí mezi shodná zobrazení. Posunutí lze aplikovat na celý prostor nebo na vybrané geometrické útvary. +more Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při posunutí nemění.

Maticová reprezentace

Některé transformace lze reprezentovat jako násobení vektoru souřadnic zleva určitou maticí. Při násobení maticí je vždy počátek souřadnic pevným bodem; posunutí je však afinní transformace, která nemá žádný pevný bod. +more Existuje ale trik, jak posunutí reprezentovat násobením vektoru souřadnic maticí zleva, a tím je použití homogenních souřadnic: trojrozměrný vektor \mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z) zapíšeme pomocí 4 homogenních souřadnic jako \mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1) .

Pro posunutí objektu o daný vektor \mathbf{v} lze každý homogenní vektor \mathbf{p} (zapsaný v homogenních souřadnicích) znásobit následující translační maticí:

: T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Násobení touto maticí dá skutečně očekávaný výsledek: : T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y\\ 0 & 0 & 1 & v_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{p} + \mathbf{v}

Inverzní zobrazení a tedy i inverzní translační matici lze získat prostým obrácením vektoru: : T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \. +more .

Součin translačních matic lze vyjádřit pomocí sčítání vektorů: : T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}} . \. +more Protože sčítání vektorů je komutativní, násobení translačních matic je také komutativní (na rozdíl od násobení obecných matic).

Odkazy

Reference

Související články

Geometrické zobrazení * Shodné zobrazení * Posunutí souřadnic

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie