Pythagorova věta o energii

Pythagorovu větu pro trojúhelník o stranách E,E_0 a pc. Ve fyzice je Pythagorova věta o energii vztah mezi energií a hybností částice, který vyplývá ze speciální teorie relativity: :E^2 = E_0^2 + \left(pc\right)^2\,. E značí celkovou energii částice, E_0 je její klidová energie, p je velikost hybnosti a c je rychlost světla ve vakuu. Klidová energie je přímo úměrná hmotnosti částice m podle vztahu E_0=mc^2.V tomto článku proměnná m označuje klidovou hmotnost částice, která nezávisí na volbě vztažné soustavy (na rychlosti částice vůči pozorovateli). V moderních publikacích o fyzice se již nepoužívá koncept tzv. relativistické hmotnosti, která na rychlosti závisí.

Částice s nulovou hmotností

Foton a některé další částice mají nulovou klidovou hmotnost. Dosadíme-li m=0 do Pythagorovy věty o energii, vztah se výrazně zjednoduší: :E = pc \,. +more Částice tedy nese hybnost, která je přímo úměrná její energii. Další významný důsledek lze nahlédnout, uvážíme-li relativistickou definici hybnosti: :\mathbf{p} = {E\over c^2}\mathbf{v} \,Výraz E/c^2 je relativistická hmotnost zmíněná v předchozí poznámce. Zde ji jako hmotnost neoznačujeme, protože nemá přímý fyzikální význam a nepřináší nic nového oproti veličině E. kde \mathbf{p} a \mathbf{v} jsou vektory hybnosti, resp. rychlosti částice. Dosadíme-li do této rovnice energii E=pc, zjistíme, že je splněna pouze tehdy, je-li velikost rychlosti rovna c. Jinými slovy částice s nulovou klidovou hmotností se musí vždy vůči libovolnému pozorovateli pohybovat rychlostí c.

Částice s nenulovou hmotností

Stejně jako v předchozí sekci dosadíme Pythagorovu větu o energii do vztahu pro velikost hybnosti: :p = v {E\over c^2} = {v\over c^2}\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}\,. Je-li rychlost v menší než c, můžeme z tohoto vztahu vyjádřit hybnost: :p = \gamma mv\, kde \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} je Lorentzův faktor. +more Hmotná částice se tedy bude pohybovat vždy rychlostí menší než c, i když jí dodáme libovolně velkou hybnost.

Na druhou stranu vezmeme-li definici hybnosti a dosadíme do Pythagorovy věty o energii: :E^2 = m^2c^4 + \left(v{E\over c^2}\right)^2c^2 \, můžeme z této rovnice vyjádřit celkovou energii částice: :E = \gamma m c^2 \,. Opět je vidět, že částice s nenulovou hmotností se bude pohybovat vždy pomaleji než c, i když jí dodáme libovolnou energii.

Pokud by se částice nepohybovala, můžeme za hybnost dosadit nulu a vychází nám E = mc^2.

Kinetická energie

Kinetická energie je rozdíl mezi energií částice v pohybu a v klidu: :E_k = E - E_0 = \sqrt{E_0^2 + \left(pc\right)^2} - E_0 \,.

Nemá-li částice klidovou hmotnost (E_0=0), je E_k=E. V tomto smyslu je energie částice s nulovou klidovou hmotností „čistě“ kinetická.

Pro částice s E_0\not=0 je kinetická energie v souladu s předchozími vztahy rovna: :E_k = E - E_0 = \gamma m c^2 - mc^2 = mc^2 \left(\gamma - 1\right) \,. Taylorovým rozvojem tohoto výrazu lze ukázat, že při malých rychlostech dostatečně přesně platí vztah E_k = {1\over2}mv^2, což souhlasí s klasickou dynamikou popsanou Newtonovými zákony pohybu. +more Při velkých kinetických energiích se však rychlost pouze blíží c a nikdy tuto hranici nepřekročí.

Čtyřhybnost

Všechny vztahy ve speciální teorii relativity lze přirozeně zapisovat pomocí čtyřvektorů. Jedním z nejdůležitějších je čtyřhybnost, která spojuje energii a hybnost částice. +more Vypočteme-li skalární součin tohoto 4-vektoru se sebou samým, obdržíme právě Pythagorovu větu o energii.

Poznámky

Odkazy

Související články

Hybnost * Čtyřhybnost * Čtyřvektor * Relativistická hmotnost

Externí odkazy

[url=http://aldebaran.cz/astrofyzika/gravitace/str.html]Speciální teorie relativity[/url] - přehled základních vztahů na Aldebaran.cz

Kategorie:Relativistická fyzika