Cesko.wiki Rozdělení beta
Author
Albert FloresRozdělení beta pro různé hodnoty parametrů Rozdělení beta je rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti definovaných na intervalu [0, 1]. Nejčastěji se parametrizuje dvěma kladnými parametry označenými α a β, popřípadě někdy p a q,které se objevují jako exponenty náhodné proměnné a řídí tvar distribuce. Zobecnění na více proměnných se nazývá Dirichletovo rozdělení.
Rozdělení beta se široce používá k modelování chování náhodných proměnných omezených na intervaly konečné délky. V bayesovské statistice je distribuce beta konjugovaný prior pro modelování jevů s Bernoulliho, binomickým, inverzním binomickým a geometrickým rozdělením. +more Distribuce beta je vhodný model pro náhodné chování procent a podílů.
Hustota pravděpodobnosti (pdf) pro 0 ≤ x ≤ 1 a tvarové parametry α, β > 0 je mocninná funkce proměnné x a její reflexe (1 − x):
: \begin{align} f(x;\alpha,\beta) & = \mathrm{konstanta}\cdot x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[3pt] & = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\displaystyle \int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt] & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt] & = \frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{align}
kde Γ(z) je gama funkce. Beta funkce, \Beta (po které má rozdělení své jméno, jelikož jeho pdf má matematicky podobný tvar jako tato funkce), je normalizační konstanta zajišťující, že celková pravděpodobnost je 1.
Střední hodnota a rozptyl náhodné proměnné X s rozdělením beta jsou:
:\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} :\mathrm{Var}[X]=\frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}.
