Rozšířená matice

Technology

12 hours ago

Author

Rozšířená matice je v lineární algebře matice získaná zápisem dvou matic za sebou, obvykle za účelem současného provádění stejných elementárních řádkových operací na obě dané matice zároveň. Jde o speciální případ blokové matice se dvěma bloky vedle sebe.

Definice

Je-li \boldsymbol A matice typu m\times n se sloupci \boldsymbol a_1, \dots, \boldsymbol a_n a \boldsymbol B matice typu m\times p se sloupci \boldsymbol b_1, \dots, \boldsymbol b_p, potom rozšířená matice (\boldsymbol A|\boldsymbol B) je typu m\times (n+p) se sloupci \boldsymbol a_1, \dots, \boldsymbol a_n, \boldsymbol b_1, \dots, \boldsymbol b_p.

Použití

Výpočet inverzní matice

Rozšířenou matici lze použít pro výpočet inverzní matice, kdy se pro potřeby výpočtu spojuje s jednotkovou maticí.

Například čtvercovou matici \boldsymbol A řádu dva : \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}

lze invertovat tak, že rozšířená matice (\boldsymbol A|\mathbf I), kde \mathbf I je jednotková matice stejného řádu,

: (\boldsymbol A|\mathbf I) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

je pomocí elementárních řádkových operací upravena Gaussovou eliminací tak, aby se v levé části nacházela jednotková matice: : (\mathbf I|\boldsymbol A^{-1}) = \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \end{array}\right) ,

Pravá část pak obsahuje matici inverzní k původní matici.

Řešení soustav lineárních rovnic

Pro soustavu lineárních rovnic \boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} lze z matice soustavy \boldsymbol A a vektoru pravých stran \boldsymbol b braného jako matice s jedním sloupcem sestrojit rozšířenou matice soustavy (\boldsymbol A|\boldsymbol b) . S touto rozšířenou maticí lze soustavu vyřešit např. +more Gaussovou eliminací.

Pro daný počet neznámých, závisí počet řešení soustavy lineárních rovnic pouze na hodnosti matice reprezentující soustavu a hodnosti odpovídající rozšířené matice. Konkrétně podle Frobeniovy věty jakákoli soustava lineárních rovnic je nekonzistentní (nemá žádné řešení), pokud hodnost rozšířené matice je větší než hodnost matice koeficientů; pokud naopak řády těchto dvou matic jsou si rovny, soustava má alespoň jedno řešení. +more Řešení je jednoznačné právě tehdy, když hodnost matice se rovná počtu proměnných. Jinak má obecné řešení tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností soustavy.

Ukázka:

Soustava lineárních rovnic v oboru reálných čísel

: \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 2 \\ x &+& y &+& z &=& 3 \\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 6 \end{array}

má matici soustavy

: \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}

a rozšířenou matici soustavy

: (\boldsymbol A|\boldsymbol b) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \end{array}\right).

Protože obě uvedené matice mají v oboru reálných čísel stejnou hodnost (2), má soustava alespoň jedno řešení. Protože hodnost je menší než počet neznámých (3), má soustava nekonečně mnoho řešení.

Naproti tomu, soustava

\begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 3 \\ x &+& y &+& z &=& 1 \\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 5 \end{array}

má matici

: \boldsymbol A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix},

a rozšířenou matici soustavy

: (\boldsymbol A|\boldsymbol b) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right).

V tomto případě matice koeficientů má hodnost 2, zatímco rozšířená matice má hodnost 3; proto tato soustava rovnic nemá žádné řešení. Zvýšením počtu lineárně nezávislých řádků se soustava rovnic stane nekonzistentní.