Cesko.wiki Věta o pevném bodě
Author
Albert FloresVěta o pevném bodě je některé z mnoha matematických tvrzení říkajících, že zobrazení (například funkce nebo operátor) F za určitých podmínek má alespoň jeden (nebo právě jeden) pevný bod, tedy vzor x, pro který platí F(x) = x. Věty o pevném bodě se často objevují zejména v důkazech existence řešení různých úloh, případně důkazech, že určité postupy k řešení konvergují.
Příkladem je Banachova věta o pevném bodě (1922), která v řadě případů umožňuje určit, že iterace určité funkce konvergují.
Jiné známé tvrzení je Brouwerova věta o pevném bodu (1911), jež je ovšem nekonstruktivní. Říká, že pevný bod má každá spojitá funkce zobrazující uzavřenou kouli v n-rozměrném euklidovském prostoru na sebe, ale nedává návod, jak tento pevný bod najít. +more Například funkce kosinus je spojitá na intervalu [−1,1] a promítá ho do téhož intervalu [−1, 1], a proto musí mít podle Brouwerovy věty pevný bod. To je jasné z grafu funkce kosinus; pevný bod se vyskytuje tam, kde křivka y = cos x protíná přímku y = x. Numericky je pevný bod (známý jako číslo Dottie) přibližně x = 0,73908513321516 (pro tuto hodnotu x platí x = cos x).