Binomická věta

Ilustrace binomické věty pro n=2 Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

: (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} \quad

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

:{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady

Ilustrace binomické věty pro n=3 Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4: :(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\, :(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\, :(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\, :(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\, :(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí: : (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k. +more Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro n=m+1: :: (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \, :z indukčního předpokladu: :: = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j :násobení přes a a b: :: = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} :vyjmutí k=0 ze sumy: :: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1} :substituce j = k-1: :: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} :vyjmutí k=m+1 ze sumy: :: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k} + b^{m+1} :složení dvou sum: :: = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m-k+1}b^k :z Pascalova pravidla: :: = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m-k+1}b^k :přidání m+1 mocnin do výrazu: :: = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m-k+1}b^k . :Q. E. D. .

Zobecnění binomické věty

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

(1+z)^w = {w \choose 0}+ {w \choose 1}z+ {w \choose 2}z^2+{w \choose 3}z^3+\cdots

Kde w,\,z jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

(1+z)^w = 1+ w z+ \frac{w(w-1)}{2} z^2+ \frac{w(w-1)(w-2)}{6} z^3+\cdots

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je |z|.

Speciálně pro z=-x a w=-1 dostáváme součet geometrické řady:

\frac{1}{1-x}= 1+ x+x^2+x^3+x^4 \cdots

Případně pokud je z=-x^2 a w=-\frac{1}{2}, pak obdržíme tuto řadu:

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} x^4 +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^6+ \cdots

Která po integraci přejde na řadu pro \arcsin x:

\arcsin x = x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} +\frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7}+ \cdots

Speciálně např. když dosadíme x=\frac{1}{2}, dostaneme docela dobře konvergující řadu pro \frac{\pi}{6}. +more Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili z=x^2 a w=-1, dostali bychom integrací této řady řadu pro \operatorname{arctg}\; x, která taktéž umožňuje vypočítat číslo \pi.

Odkazy

Související články

Binomické rozdělení * Multinomická věta * Pascalův trojúhelník * Leibnizovo pravidlo

Externí odkazy

Kategorie:Algebra Kategorie:Kombinatorika Kategorie:Matematické věty a důkazy