Distribuce (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

Definice

Mějme diferencovatelnou varietu \scriptstyle M a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety \scriptstyle p \in M jako \scriptstyle T_p M. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě \scriptstyle M rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru \scriptstyle T_p M každému bodu \scriptstyle p \in M. +more Toto přiřazení značíme \scriptstyle \Delta_k. Neboli.

: (\forall p \in M)(\exists U = U^\circ \subset M, p \in U)(\exists X_1, \ldots, X_k \in \mathcal{X}(U))(\forall q \in U)(\{X_1|_q, \dots X_k|_q\} \ \text{jsou LN a} \ \Delta_k(q) = \text{span} \{ X_1|_q, \ldots, X_k|_q\}),

kde \scriptstyle U \subset M je okolí bodu \scriptstyle p \in M, \scriptstyle \mathcal{X}(U) je množina (hladkých) vektorových polí na okolí \scriptstyle U, \scriptstyle \text{span} značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a \scriptstyle X_i|_q označuje hodnotu vektorového pole \scriptstyle X_i v bodě \scriptstyle q \in U.

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmy

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu \scriptstyle M o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci \scriptstyle \Delta_k. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod \scriptstyle p \in M existuje jeho okolí \scriptstyle U = U^\circ \subset M a na něm souřadnice \scriptstyle (x^1, \ldots, x^k, y^1, \ldots, y^{n-k}) takové, že plochy určené soustavou rovnic

: \scriptstyle \begin{matrix} y^1 & = & konst. \\ & \vdots & \\ y^{n-k} & = & konst. \\ \end{matrix}

(bráno jako podmnožiny v okolí \scriptstyle U) jsou integrální podvariety \scriptstyle \Delta_k. Souřadnice \scriptstyle (x^1, \ldots, x^k, y^1, \ldots, y^{n-k}) pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu \scriptstyle M a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci \scriptstyle \Delta_k. Dále nechť \scriptstyle N je n-rozměrná vnořená podvarieta variety \scriptstyle M, tj. +more existuje vnoření \scriptstyle i: N \to M. Pokud.

:(\forall p \in N)(i_\ast(T_p N) \subset \Delta_k(i(p))),

kde \scriptstyle i_\ast označuje tečné zobrazení k zobrazení \scriptstyle i, tak podvarietu \scriptstyle N nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucí

Buď \scriptstyle \Delta_k k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě \scriptstyle M. Pokud platí

: (\forall U = U^\circ \subset M)(\forall X,Y \in \mathcal{X}(U))(\forall p \in U)(X|_p, Y|_p \in \Delta_k(p) \Rightarrow [X,Y]|_p \in \Delta_k(p)),

tak k \scriptstyle \Delta_k existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je \scriptstyle \Delta_k v involuci, tj. \scriptstyle [\Delta_k,\Delta_k] \subset \Delta_k, tak je \scriptstyle \Delta_k integrabilní.

Kategorie:Diferenciální geometrie