Distributivní svaz

Distributivní svaz je v matematice označení svazu, jehož dvě operace jsou vzájemně distributivní.

Definice

Svaz (A,∧,∨) se nazývá distributivní, platí-li:

1. \forall a,b,c \in A : a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)

2. \forall a,b,c \in A : a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)

Podmínky 1 a 2 jsou navzájem duální, tzn. platí-li jedna pak platí i druhá.

Podsvaz distributivního svazu

Je-li svaz (A,∧,∨) distributivní, pak každý jeho podsvaz je také distributivní.

Vlastnosti

Svaz (A,∧,∨) je distributivní právě tehdy, když žádný jeho podsvaz není izomorfní s M5 ani N5, neboť tyto svazy distributivní nejsou (M5 je tzv. diamant , N5 tzv. +more pentagon).

V distributivním svazu platí obdoba pravidla o krácení z grup , tedy \forall a,b,c \in A : a \wedge b = a \wedge c, a \vee b = a \vee c \Rightarrow b=c.

Každý distributivní svaz je také modulární.

Příklad

Svaz (P(M), \subseteq \,\! ), kde P(M) je potenční množina je distributivní.

Související články

Svaz * Modulární svaz * Podsvaz * Úplný svaz

Kategorie:Algebraické struktury Kategorie:Teorie svazů