Eliptické funkce

Technology

12 hours ago

Author

Eliptické funkce jsou v matematické oblasti komplexní analýzy speciálním druhem meromorfních funkcí, které splňují dvě podmínky periodicity. Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám.

Definice

Eliptická funkce je taková meromorfická funkce f, jestliže existují dvě lineárně nezávislá komplexní čísla \omega_1,\omega_2\in\mathbb{C} tak, že: :f(z + \omega_1) = f(z) a f(z + \omega_2) = f(z) \quad \forall z\in\mathbb{C}. Eliptické funkce mají tedy dvě periody, a proto se také nazývají „dvojperiodické“.

Abelovy a Jacobiho funkce

Adrien-Marie Legendre studoval eliptické integrály a jeho práci poté převzali Niels Henrik Abel a Carl Gustav Jacobi.

Abel uvažoval integrální lichou funkci rostoucí na intervalu \langle{-\tfrac1c},\tfrac1c\rangle: :\alpha(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-c^2t^2)(1+e^2t^2)}}, jejíž inverzí x=\varphi(\alpha) získal funkce: :f(\alpha)=\sqrt{1-c^2\varphi^2(\alpha)} \ \ \ \ \ F(\alpha)=\sqrt{1+e^2\varphi^2(\alpha)}, kde c,e\in\mathbb{R^+}.

Jacobi uvažoval integrální funkci: :\beta(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}, jejíž inverzí x=\operatorname{sn}(\beta) získal funkce eliptický sinus (sn), eliptický cosinus (cn) a delta amplitudu (dn): :\operatorname{cn}(\beta)=\sqrt{1-x^2} \ \ \ \ \ \operatorname{dn}(\beta)=\sqrt{1-k^2x^2}, kde 0.