Cesko.wiki Geometrické rozdělení
Author
Albert FloresPravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení pro více hodnot pravděpodobnosti úspěchu: 0,8 (červená), 0,2 (modrá), 0,5 (zelená) Geometrické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých bernoulliovských pokusů, tedy náhodných pokusů, jejichž výsledkem je 1 (úspěch) s pravděpodobností p a 0 (neúspěch) s pravděpodobností 1 - p. Pomáhá tak odpovědět na otázky typu „kolikrát musí hráč neúspěšně hodit kostkou, než mu padle šestka?“ nebo „jak pravděpodobné je, že člověk desetkrát vsadí stejný tiket v loterii, a nic nevyhraje?“ Někdy se pod názvem geometrické rozdělení myslí velmi podobné posunuté geometrické rozdělení, distribuce počtu nezávislých bernoulliovských pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu. Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je ten, že hodnota obvyklého geometrického rozdělení pro číslo x je rovna hodnotě posunutého rozdělení pro x + 1, distribuční funkce tedy jsou vzájemně posunuty o jednotku.
Vzorce
Diskrétní náhodná veličina X s geometrickým rozdělením se označuje například X ∼ Geo(p) a je definována pro celočíselné hodnoty od nuly do nekonečna (u posunutého geometrického rozdělení od jedné do nekonečna).
Pravděpodobnostní funkce je :\Pr(Y=k) = (1 - p)^k p pro k = 0, 1, 2,. , jinak je rovna nule. +more Pro posunuté geometrické rozdělení je pravděpodobnostní funkce :\Pr(X = k) = (1-p)^{k-1}p pro k = 1, 2, 3,. , jinak nula. Distribuční funkce je F(k) = 1-(1 - p)^{k+1} resp. F(k) = 1-(1 - p)^{k} pro posunuté geometrické rozdělení.
Střední hodnota geometrického rozdělení je :\operatorname{E}(X)=\frac{1-p}{p}, případně :\operatorname{E}(X)=\frac{1}{p} pro posunuté geometrické rozdělení.
Rozptyl je u běžného i posunutého geometrického rozdělení shodně :\operatorname{D}(X) = \frac{1-p}{p^2}.
