Hyperbolický kotangens

coth(x) Hyperbolický kotangens je hyperbolická funkce. Značí se coth(x).

Definice

Hyperbolický kotangens je definován pomocí hyperbolického kosinu a hyperbolického sinu, přičemž

\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} a \cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2}, kde e je Eulerovo číslo.

Tedy \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}

Hyperbolický kotangens lze rovněž definovat pomocí imaginárního úhlu jako:

\coth x = i \cot (i x), kde i je imaginární číslo definované jako i^2 = −1.

Inverzní funkcí k hyperbolickému kotangens je hyperbolometrická funkce argument hyperbolického kotangens (argcoth x).

Vlastnosti

Hyperbolický kotangens je lichá funkce, je tedy splněna podmínka: \coth(-x)=-\coth(x) * Definiční obor funkce coth(x): \mathbb{R}-\{0\}

* Obor hodnot funkce coth(x): (-\infty;-1)\cup(1;\infty)

Vzorečky

\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x, kde funkce csch je funkce kosekans

\coth(2x)=\frac{1+\coth^2(x)}{2\coth(x)}

\coth(x+y)=\frac{\coth(x).\coth(y)+1}{\coth(y)+\coth(x)}

Derivace

\frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,

Integrál

\int \coth x\,dx = \ln(\sinh x); x>0

\int \coth x\,dx = \ln(-\sinh x); x

Kategorie:Hyperbolické funkce