Cesko.wiki Odmocnina z jedné
Author
Albert Floreskomplexní rovině Odmocnina z jedné je pojmem v matematice, kde se jím nejobecněji označuje každý prvek okruhu, který umocněn na nějaké celé číslo dává jednotkový prvek. Zvláště významný případ představují odmocniny z jedné v tělese komplexních čísel, kde se někdy označují za de Moivrova čísla a jedná se o taková čísla, jejichž nějaká celočíselná mocnina je rovna jedné.
Speciálně se n-tou odmocninou z jedné pro n z kladných přirozených čísel rozumí takový prvek a, pro který platí a^n=1. Taková odmocnina se dále nazývá primitivní n-tá odmocnina z jedné, pokud není k-tou odmocninou z jedné pro žádné k .
Vlastnosti
Každé algebraicky uzavřené těleso má n různých n-tých odmocnin z jedné za předpokladu, že n není dělitelné jeho charakteristikou. * Každá odmocnina z jedné je n-tou odmocninou z jedné pro nějaké n. +more * Každá mocnina odmocniny z jedné je také odmocninou z jedné, neboť *: (z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1. * Je-li z n-tá odmocnina z jedné, pak jsou její mocniny z, z^2, z^3,z^4,\dots,z^{n-1} navzájem různé. Důkaz sporem: Je-li 1=z^a=z^b, kde bez újmy na obecnosti 1, pak také z^{b-a}=1, což je ve sporu s primitivitou, neboť jsme našli menší exponent, 0, na který umocněno dává z jedničku. * Protože polynom n-tého stupně může mít nanejvýš n kořenů, jsou všechny mocniny primitivní n-té odmocniny z jedné právě všemi n-tými odmocninami z jedné. * V komplexních číslech lze všechny n-té odmocniny z jedné vyjádřit pomocí de Moivrovy věty: *: \left(\cos x + i \sin x\right)^n = \cos nx + i\sin nx, odkud po dosazení x=2\pi/n vyplývá hodnota n-té odmocniny z jedné, o které lze dokázat, že je primitivní: *: \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^n = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,, tedy všechny odmocniny z jedné lze získat jako její mocniny: *: \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^k= \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} \neq 1 pro 1.
