Pravděpodobnostní prostor

Technology

12 hours ago

Author

Pravděpodobnostní prostor je matematický koncept používaný v pravděpodobnostním a statistickém modelování. Jedná se o abstraktní strukturu, která umožňuje kvantifikovat a analyzovat různé jevy a události, které mají nějakou pravděpodobnost výskytu. Pravděpodobnostní prostor je definován pomocí tří prvků: množina všech možných výsledků události (vzorkový prostor), množina všech možných jevů (sigma-algebra) a pravděpodobnostní míra. Vzorkový prostor obsahuje všechny možné výsledky nebo hodnoty, které se mohou v dané události objevit. Sigma-algebra je množina podmnožin vzorkového prostoru, které jsou předmětem analýzy. Pravděpodobnostní míra přiřazuje všem jevům pravděpodobnost jejich výskytu. Pravděpodobnostní prostor umožňuje modelování a analýzu různých pravděpodobnostních a statistických jevů. Pomocí něj lze například modelovat a vypočítávat pravděpodobnost výskytu různých událostí, popisovat statistické rozdělení jednotlivých proměnných nebo určovat očekávanou hodnotu a rozptyl daného jevu. Tento koncept je základem pro další statistické a pravděpodobnostní metody, jako je Bayesova věta, Markovovy procesy nebo regresní analýza. Pravděpodobnostní prostor je tedy důležitou součástí matematického aparátu používaného v pravděpodobnostním a statistickém modelování a hraje klíčovou roli při interpretaci a analýze dat.

Pravděpodobnostní prostor je v teorii pravděpodobnosti matematický konstrukt, který modeluje procesy v reálném světě, jejichž výsledek nelze předem předpokládat, a o kterých proto říkáme, že jsou náhodné („náhodný jev“ nebo „náhodný pokus“).

Pravděpodobnostní prostor je trojice (\Omega, \mathcal{F}, P), jejíž složky jsou: # Prostor elementárních jevů \Omega - neprázdná množina všech možných výsledků. # Množina náhodných jevů (jevové pole nebo jevový prostor) \mathcal{F} - každý náhodný jev je množina obsahující žádný nebo více výsledků náhodného pokusu. +more # Funkce P, která každému náhodnému jevu přiřazuje jeho pravděpodobnost - reálné číslo z intervalu \langle 0, 1 \rangle.

Elementární jev je výsledek jednoho provedení náhodného pokusu. Protože jednotlivé elementární jevy nemusí být pozorovatelné (rozlišitelné) nebo nemusí být známa jejich pravděpodobnost, používají se pro charakterizaci výsledku náhodné jevy, které mohou být složené z více elementárních jevů. +more Kolekce všech náhodných jevů je sigma algebra (σ-algebra) \mathcal{F}. Šance, že nastane určitý jev, se udává pomocí pravděpodobnostní míry P.

Pravděpodobnostní prostor vždy konstruujeme pro určitý náhodný jev nebo situaci, u které předpokládáme, že množina možných výsledků i jejich pravděpodobnosti jsou stejné. Máme-li definován pravděpodobnostní prostor, předpokládáme, že při každém pokusu „náhoda“ vybere jeden elementární výsledek \omega z prostoru elementárních jevů \Omega. +more Pozorujeme, že „nastaly“ všechny výsledky z \mathcal{F}, které obsahují elementární jev \omega, ke kterému došlo (každý náhodný jev je podmnožinou \Omega). Výběr provedený náhodou se provádí takovým způsobem že pokud pokus byl opakován nekonečněkrát, relativní frekvence výskytu každého náhodného jevu by se shodovaly s jeho pravděpodobností popsanou funkcí P.

Pojem pravděpodobnostní prostor zavedl spolu s jinými axiomy pravděpodobnosti ruský matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov ve 30. letech 20. +more století. Od té doby byly navrženy i jiné přístupy k axiomatizaci teorie pravděpodobnosti, např. bayesovský přístup, „algebra náhodných proměnných“.