Cesko.wiki Prvočinitel
Author
Albert FloresV oboru abstraktní algebry je prvočinitel takový prvek p komutativního okruhu R, který není ani nulou ani jednotkou a který pro všechna a,b \in R splňuje podmínku, že pokud p dělí součin ab, pak p dělí a nebo p dělí b.
Jedná se o zobecnění prvočísel. V případě celých čísel jsou prvočiniteli právě prvočísla a čísla k nim asociovaná, tedy prvočísla vynásobená -1, tedy čísla 2, -2, 3, -3, 5, -5, 7, -7, 11, -11,\dots.
Vlastnosti
Je-li prvek c prvočinitelem, je prvočinitelem i prvek c\cdot j pro libovolnou jednotku j * V libovolném oboru integrity platí, že prvočinitel je vždy ireducibilním prvkem, ale opačně to obecně neplatí (příklad níže). V Gaussových oborech, kde platí analogie Základní věty aritmetiky, také platí, že každý ireducibilní prvek je prvočinitelem. +more * Prvek c, který není jednotkou, je prvočinitelem právě tehdy, když je jím generovaný hlavní ideál \left(c\right) nenulovým prvoideálem.
Příklady
například čísla -2 a 5 (a mnohá jiná) v oboru celých čísel * například prvek 2+i (a mnohé jiné) v oboru Gaussových celých čísel * například mnohočlen x^2+1 (a mnohé jiné) v polynomiálním okruhu všech mnohočlenů s koeficienty z okruhu celých čísel * v oboru integrity \mathbb{Z}[i\sqrt{5}], jehož prvky jsou čísla tvaru a+bi\sqrt{5} pro a,b\in\mathbb{Z}, je sice číslo 2 ireducibilním prvkem, ale přestože dělí číslo 6, nedělí ani jeden z činitelů (1+i\sqrt5)\cdot(1-i\sqrt5)=6, tedy se nejedná o prvočinitele. * protože všechny prvky těles jsou buď nulou nebo jednotkami, neobsahují tělesa žádné prvočinitele