Cesko.wiki Gaussův obor integrity
Author
Albert FloresGaussův obor integrity neboli obor integrity s jednoznačným rozkladem je v algebře, volně řečeno, takový okruh, ve kterém platí analogie Základní věty aritmetiky, totiž že každý jeho prvek (až na určité výjimky) je možno v jistém smyslu jednoznačně vyjádřit jako součin prvočinitelů.
Každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem a Gaussův obor je vždy oborem integrity. Pro každé dva prvky Gaussova oboru existuje největší společný dělitel a nejmenší společný násobek.
Formální definice
Gaussův obor je takový obor integrity R, v kterém lze každý nenulový prvek x zapsat jako (nikoliv nutně neprázdný) součin ireducibilních prvků a jednotky u: :x = u p1 p2 . pn kde n≥0 přičemž je tento součin jednoznačný následujícím způsobem: Jsou-li q1,. +more,qm ireducibilní prvky R a w je jednotka R přičemž :x = w q1 q2 . qm with m≥0, pak platí n=m a existuje bijekce φ : {1,. ,n} → {1,. ,m} taková, že pi je asociovaný prvek s qφ(i) pro všechna i ∈ {1, . , n}.
Příklady
Platí, že každý obor hlavních ideálů je Gaussovým oborem, tedy i každý eukleidovský obor je Gaussovým oborem. Speciálně jsou Gaussovými obory celá čísla (což plyne přímo ze Základní věty aritmetiky), Gaussova celá čísla a Eisensteinova čísla. +more * Gaussovým oborem je triviálně každé těleso - každý nenulový prvek je v něm totiž jednotkou. Tedy jsou Gaussovým oborem racionální, reálná i komplexní čísla. * Je-li nějaký okruh R Gaussovým oborem, musí být Gaussovým oborem i okruh mnohočlenů s koeficienty z R.