Cesko.wiki Sférické harmonické funkce
Author
Albert FloresSférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.
Úvod
Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:
:{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0
(viz sférická soustava souřadnic).
Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.
Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru
: r^{-1-\ell} \cos (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} ) a : r^{-1-\ell} \sin (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} ) kde P_\ell^m jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry \ell \ge 0 a m od 0 do \ell.
Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry \ell \ge 0 a m od - \ell do \ell lze psát jako lineární kombinaci:
: U_{\ell,m}(r,\theta , \varphi ) = r^{-1-\ell} Y_\ell^m( \theta , \varphi )
kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:
: Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \cdot e^{i m \varphi } \cdot P_\ell^m ( \cos{\theta} )
Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)
:\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^mY_{\ell'}^{m'*}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},\quad\quad \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta
platí pro ně
:Y_{\ell}^{-m}( \theta , \varphi )=\left(-1\right)^m Y_{\ell}^{m*}( \theta , \varphi )
a splňují relace úplnosti
:\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ') = \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right),
kde δ(x) je Diracova delta funkce.
| Y1 | 250px | +morepng'>250px |
|---|---|---|
| Y2 | 250px | 250px |
| Y3 | 250px | 250px |
Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako
:Y_\ell^0\quad\quad \mbox{ pro }\ 0\le\ell\le\infin
a
:{1\over\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m+Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad \mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell
a
:{1\over i\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m-Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad \mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell
Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením
:\cos\theta={z\over r},\qquad e^{\pm ni\varphi}\cdot\sin^n\theta={(x\pm iy)^n\over r^n},\qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Prvních několik sférických harmonik
Zde jsou první sférické harmoniky:
:Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}
:Y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r} :Y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r} :Y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}
:Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta :Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta :Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1) :Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta :Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta
:Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)
