Slabá kardinální mocnina

Slabá kardinální mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.

Definice

Jsou-li \kappa \,\! a \lambda \,\! dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem \kappa^{ a definujeme vztahem

\kappa^{ , tj. jako součet všech kardinálních mocnin \kappa \,\! s exponentem menším než \lambda \,\! .

Motivace pro zavedení

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny: * [X]^{\lambda} = \{ Y \subseteq X : |Y| = \lambda \} \,\. * [X]^{ Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny X \,\. +more s mohutností přesně \lambda \,\. a množina všech podmnožin množiny X \,\. s mohutností menší než \lambda \,\. .

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:

Pokud platí |X| = \kappa \,\! a \lambda \leq \kappa^{+} \,\! (symbol \kappa^{+} \,\! je nejmenší kardinální číslo větší než \kappa \,\! ), potom

|[X]^{

Příklad použití

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li \aleph_{\alpha} \,\! singulární kardinál, \beta takové, že pro každé \beta \leq \gamma platí \aleph_{\gamma} = \aleph_{\beta}, potom

2^{\aleph_{\alpha}} = 2^{\aleph_{\beta}} = 2^{

Je-li \aleph_{\alpha} \,\! singulární kardinál a pro každé \beta existuje \beta , pro které platí \aleph_{\gamma} > \aleph_{\beta}, potom

2^{\aleph_{\alpha}} = \gimel(2^{

Související články

Kardinální aritmetika * Funkce alef * Funkce gimel * Zobecněná hypotéza kontinua * Hypotéza singulárních kardinálů

Kategorie:Kardinální čísla