Tenzorový součin

Tenzorový součin dvou vektorových prostorů V a W nad stejným číselným tělesem T je v matematice vektorový prostor Z disponující takovým bilineárním zobrazením \phi\colon V\times W\to Z z kartézského součinu V a W na Z, které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z \phi\colon V\times W v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad \phi. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení B\colon V\times W\to X na vektorový prostor X nad tělesem T existuje jednoznačně definované lineární zobrazení \tilde B\colon Z\to X tak, že B=\tilde B\circ \phi,, čili že pro libovolný pár vektorů v, w platí B(v,w)=\tilde B(\phi(v,w)). Pokud takový vektorový prostor Z existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný Z' s univerzálním bilineárním zobrazením \phi'\colon V\times W\to Z' existuje izomorfismus k\colon Z\to Z' tak, že \phi'=k\circ \phi. Prostor Z se značí V\otimes W a příslušné bilineární zobrazení se píše \phi(v,w)=v \otimes w. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: V_1 \otimes V_2\otimes V_3 = (V_1 \otimes V_2)\otimes V_3. atd.

Ve fyzice se pro vektorový prostor V s duálním prostorem V^* (často V=\R^3) prvky tenzorového součinu : \underbrace{V\otimes\dotsb\otimes V}_{r\text{ faktorů}} \otimes \underbrace{V^*\otimes\dotsb\otimes V^*}_{s\text{ faktorů}}

označují jako tenzory kontravariantní stupně r a kovariantní stupně s. Mluví se pak o tenzorech typu (r,s).

Vlastnosti

Má-li prostor V dimenzi m a W dimenzi n, pak V\otimes W má dimenzi m n. Bázi V\otimes W lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic (e_i,f_j), kde e_i jsou bázové vektory V a f_j bázové vektory W.

Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny v,v',v \in V, w,w',w \in W a libovolné \lambda \in T tedy platí:

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Vektorový počet