Trichotomická relace

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice

Relace R \,\! na množině X \,\! je trichotomická, pokud platí:

( \forall a,b \isin X )( [a,b] \isin R \vee [b,a] \isin R \vee a = b) \,\!

Řečeno lidsky: trichotomická relace je ten typ relace, kdy každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší“ i „je menší nebo rovno“ \leq \,\! jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou“ \subseteq \,\! není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.

Pokud jsou a,b \isin X, a \neq b \,\. potom \{ a \}, \{ b \} \isin \mathbb{P}(X) \,\. +more , ale neplatí ani \{ a \} \subseteq \{ b \} \,\. , ani \{ b \} \subseteq \{ a \} \,\. , ani \{ a \} = \{ b \} \,\. .

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.

Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články

Uspořádání * Lineární uspořádání * Binární relace * Úplná relace * Ireflexivní relace

Kategorie:Teorie množin Kategorie:Vlastnosti matematických relací