Array ( [0] => 14734427 [id] => 14734427 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Čtyřvektor [uri] => Čtyřvektor [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Čtyřvektor''' je analogie pojmu [[vektor]] používaná v [[teorie relativity|teorii relativity]]. [[Vektorový prostor|Prostor]] a [[čas]] podle ní tvoří jediný celek, čtyřrozměrný [[časoprostor]]. Každá vektorová [[fyzikální veličina|veličina]] (trojice [[reálné číslo|reálných]] hodnot) je přirozeně spojena s další číselnou veličinou, které říkáme ''časová složka'' čtyřvektoru tak, aby byl výsledný objekt nezávislý na vztažné soustavě. [1] => [2] => Formálněji je [[čtyřvektor]] prvek čtyřrozměrného reálného [[vektorový prostor|vektorového prostoru]], tzv. [[Minkowského prostor]]u (který je ve [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]] totožný s [[časoprostor]]em). Složky čtyřvektoru se při [[Lorentzova transformace|Lorentzových transformacích]], [[Rotace souřadnic|rotacích]] a [[Translace (souřadnice)|translacích]], tedy při přechodu z jedné (zcela obecné) [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]] do jiné, transformují jako vektory. Tyto transformace tvoří uzavřenou spojitou grupu, tzv. [[Poincarého grupa|Poincarého grupu]]. [3] => [4] => Čtyřvektory hrají roli v popisu fyzikálních veličin nezávislých na [[vztažná soustava|vztažné soustavě]] i v obecně křivém [[časoprostor|prostoročasu]], který využívá [[obecná teorie relativity]]. Zde Minkowského prostor hraje roli tečného (vektorového) prostoru. Všechny zákony, které musí být nezávislé na vztažné soustavě, je potřeba formulovat pomocí rovnic mezi čtyřvektory, nebo čtyřtenzory. Tomuto požadavku se říká [[princip obecné kovariance]]. [5] => [6] => == Značení == [7] => Čtyřvektor značíme zápisem jeho souřadnic \scriptstyle a^\mu=\left(a^t,a^x,a^y,a^z\right), resp. \scriptstyle a_\mu=\left(a_t,a_x,a_y,a_z\right), přičemž \scriptstyle a_t=-a^t, a_x=a^x, a_y=a^y, a_z=a^z (v inerciální soustavě, za předpokladu ortonormální prostorové baze). Při zápisu čtyřvektorů je totiž nutné rozlišovat mezi [[kovariantní vektor|kovariantními]] a [[kontravariantní vektor|kontravariantními]] složkami vektorů, ty po řadě značíme řeckým indexem dole, resp. nahoře. Přitom bývá zvykem užívat tzv. [[Einsteinova sumační konvence|Einsteinovu sumační konvenci]], tedy že pokud jsou v nějakém výrazu dva stejné indexy proti sobě, pak se sčítá přes všechny možné hodnoty, které mohou nabývat. Díky metrice Minkowského prostoru se u časových složek čtyřvektorů při změně polohy indexů změní znaménko. (viz příklad výše) Zvedání a snižování dolních a horních indexů se děje podle pravidla \scriptstyle a_{\mu}=\eta_{\mu\nu} a^\nu a \scriptstyle a^\mu=\eta^{\mu\nu}a_\nu, kde \eta je Minkowského metrika, která má v „inerciálních a ortonormálních“ souřadnicích vyjádření \scriptstyle \eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1). [8] => [9] => V článku rovněž užíváme běžné prostorové vektory, které značíme jako \scriptstyle \mathbf{a}, nebo, zapsáno ve složkách, a^i = (a_x,a_y,a_z). Protože (troj)vektory z klasické fyziky se vůči [[lorentzova transformace|Lorentzově transformaci]] netransformují jako [[vektor]]y, není potřeba polohu jejich indexu rozlišovat a píšeme jej vždy dole. [10] => [11] => Ve vzorcích vystupuje [[rychlost světla]] ve [[vakuum|vakuu]] ''c'' = 299 792 458 m/s, což vyjadřuje odlišné měřítko na časové ose. Z hlediska teorie relativity je ale přirozené měřit čas ve stejných jednotkách jako vzdálenost. Někdy se proto volí takové [[fyzikální jednotka|jednotky]], aby bylo c=1, například můžeme měřit délku ve světelných sekundách. Tím konstanta zmizí, výpočty se zjednoduší a na fyzikálních závěrech se nic nezmění. Vizte též článek [[Přirozená soustava jednotek]]. [12] => [13] => == Transformace čtyřvektorů == [14] => Popíšeme-li stejnou fyzikální situaci v jiné inerciální vztažné soustavě S', která se vůči původní soustavě S pohybuje rychlostí v podél osy x, projdou místa a časy událostí [[Lorentzova transformace|Lorentzovou transformací]]. [15] => :t' = \gamma(t-vx/c^2) [16] => :x' = \gamma(x-vt) [17] => :y' = y [18] => :z' = z [19] => Vidíme, že časová složka a prostorová složka ve směru pohybu se „promíchají“, což je důvod, proč se v teorii relativity zavádí časoprostor a čtyřvektory. Stejným způsobem se vedle událostí změní i souřadnice všech ostatních čtyřvektorů, například elektrické pole se promíchá s magnetickým. Matematicky jde o lineární transformaci, která odpovídá násobení čtyřvektoru Lorentzovou [[matice|maticí]] \Lambda: [20] => :{a^\mu} \rightarrow {a'^\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu} {a^\nu}\,. [21] => Rozepsáním do složek dostaneme [22] => :\begin{pmatrix} [23] => a_t' \\ [24] => a_x' \\ [25] => a_y' \\ [26] => a_z' \\ [27] => \end{pmatrix} [28] => = [29] => \begin{pmatrix} [30] => \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ [31] => -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ [32] => 0 & 0 & 1 & 0 \\ [33] => 0 & 0 & 0 & 1 \\ [34] => \end{pmatrix} [35] => \begin{pmatrix} [36] => a_t \\ [37] => a_x \\ [38] => a_y \\ [39] => a_z \\ [40] => \end{pmatrix} [41] => \,, [42] => kde \scriptstyle \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} je [[Lorentzův faktor]] a \scriptstyle \beta=v/c je [[bezrozměrná rychlost]]. Matice \Lambda je [[unitární matice|unitární]] a její [[determinant]] je roven 1. To znamená, že Lorentzovu transformaci si můžeme představit jako [[rotace souřadnic|rotaci]] v prostoru čtyřvektorů [43] => \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\kappa} = \eta_{\rho \kappa} [44] => nebo \Lambda^T \eta \Lambda = \eta . [45] => „Úhel“ této rotace se nazývá [[rapidita]]. Matematicky se množina všech takových rotací značí SO(3,1) – [[Lorentzova grupa]]. [46] => [47] => == Skalární součin == [48] => V definici skalárního součinu je patrný rozdíl mezi čtyřvektory a obyčejnými čtyřsložkovými vektory. U časové složky je opačné [[Znaménka plus a minus|znaménko]] než u prostorových složek. Pro dva čtyřvektory a^\mu a b^\mu se skalární součin zavádí vztahem [49] => : a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = = - a_t b_t + a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \,. [50] => Někdy se používá opačná konvence, že znaménka minus se píší k prostorovým složkám a plus k časovým, vizte například Feynmanovy přednášky. Formálně je to správně a fyzikálně se nic nezmění, ale přináší to určité problémy. Například níže uvedené čtyřvektorové operátory by nebyly prostým rozšířením vektorových operátorů o jednu dimenzi. Nicméně v obou konvencích je skalární součin [[invariance|invariantní]] vůči Lorentzově transformaci, takže jeho hodnota nezávisí na volbě vztažné soustavy. [51] => :{a^\mu}' {b_\mu}' = a^\mu b_\mu [52] => Stejně jako u vektorů, skalární součin čtyřvektoru se sebou samým dává druhou [[mocnina|mocninu]] jeho ''velikosti''. Ta nezávisí na volbě vztažné soustavy. [53] => :\|a^\mu\|^2 = \eta_{\mu \nu}a^{\mu}a^{\nu}= a^\mu a_\mu = - a_t^2 + a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 [54] => Říkáme, že tento skalární součin generuje [[Minkowského metrika|Minkowského metriku]], tedy způsob měření vzdáleností v [[Minkowského prostor]]u. [55] => [56] => == Klasifikace čtyřvektorů == [57] => Podle znaménka skalárního součinu čtyřvektoru se sebou samým dělíme čtyřvektory do tří skupin. Je-li skalární součin záporný, nazýváme vektor ''časupodobný'' a míří do budoucnosti, nebo do minulosti. Je-li skalární součin nulový, nazýváme čtyřvektor ''světlupodobný'' a je-li skalární součin kladný, čtyřvektor nazýváme ''prostorupodobný''. [58] => [59] => == Důležité čtyřvektory == [60] => [61] => === Událost === [62] => [[Událost (teorie relativity)|Událost]] je bod v prostoročase. Popisuje tedy místo \scriptstyle \mathbf{x}=(x,y,z) a časový okamžik t. [63] => : x^\mu = (ct,\mathbf{x}) = (ct,x,y,z) [64] => Množina událostí vztahujících se k jednomu objektu je jeho [[světočára]]. [65] => [66] => === Čtyřrychlost === [67] => Jde o [[derivace|derivaci]] čtyřvektoru x^\mu podle [[vlastní čas|vlastního času]] tělesa, který nezávisí na volbě vztažné soustavy. Je analogií vektoru [[rychlost]]i, na časové ose má rychlost světla. Ovšem aby se transformovala jako čtyřvektor, je třeba ji vynásobit [[Lorentzův faktor|Lorentzovým faktorem]] \scriptstyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}. Důvodem je přepočet mezi vlastním časem tělesa a časem ve zvolené vztažné soustavě, tedy [[dilatace času]]. [68] => [69] => Fyzikální význam časové složky je „rychlost cestování v čase“, tedy kolik sekund uplyne pozorovateli na jeho hodinách, když na hodinách rakety uplyne jedna sekunda (čas je ve skutečnosti měřen v jednotkách c). Vyskytujeli-se např. u časové složky čtyřrychlosti 3c, stárne kosmonaut na lodi třikrát pomaleji. [70] => [71] => Prostorová složka udává vzdálenost, kterou loď uletí, když na hodninách v kosmické lidi uplyne jedna sekunda. Tato hodnota může být i větší než rychlost světla, dokonce libovolně velká. Tato skutečnost umožňuje za lidský život doletět i k hvězdě vzdálené např. 300 [[světelný rok|světelných let]]. [72] => [73] => :U^\mu = {\mathrm{d}x^\mu\over\mathrm{d}\tau} = (\gamma c, \gamma\mathbf{v}) = (\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) [74] => [75] => === Čtyřhybnost === [76] => Čtyřhybnost (někdy též '''čtyřimpuls''') je čtyřvektor spojující [[energie|energii]] E a [[hybnost]] (impuls) \scriptstyle \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z). [77] => : P^\mu = (E/c,\mathbf{p}) = (E/c,p_x,p_y,p_z) [78] => Lze ji zapsat také jako p^\mu=m_0u^\mu, kde m_0 je [[klidová hmotnost]] (nezávislá na volbě vztažné soustavy) a u^\mu je čtyřrychlost. [79] => [80] => Pro velikost čtyřhybnosti platí [81] => :\|P^\mu\| = P^\mu P_\mu = -m^2_0 c^2\, [82] => [83] => === Čtyřpotenciál elektromagnetického pole === [84] => Čtyřpotenciál spojuje [[vektorový potenciál (elektromagnetismus)|vektorový potenciál]] [[magnetické pole|magnetického pole]] \scriptstyle \mathbf{A} a [[skalární potenciál (elektromagnetismus)|skalární potenciál]] \varphi související s [[elektrické pole|elektrickým polem]]. [85] => : A^\mu = (\varphi/c,\mathbf{A}) = (\varphi/c,A_x,A_y,A_z) [86] => Vektorová pole [[magnetická indukce|magnetické indukce]] \scriptstyle \mathbf{B} a [[intenzita elektrického pole|intenzity elektrického pole]] \scriptstyle \mathbf{E} lze spočítat z potenciálů. [87] => : \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A};\quad \mathbf{E} = -\nabla\varphi -{\partial \mathbf{A} \over \partial t} [88] => [89] => === Čtyřproud === [90] => Čtyřproud vyjadřuje proudění [[elektrický náboj|elektrického náboje]] pomocí objemové [[hustota elektrického proudu|hustoty elektrických proudů]] \scriptstyle \mathbf{j} a [[hustota elektrického náboje|hustoty elektrických nábojů]] \rho. [91] => : J^\mu = (c\rho, \mathbf{j}) = (c\rho, j_x, j_y, j_z) [92] => Zcela analogicky lze popsat i [[proudění]] jiných veličin. [93] => [94] => === Vlnový čtyřvektor === [95] => Popisuje změny [[fáze vlnění]]. [[Úhlová frekvence]] \omega vyjadřuje změnu fáze s časem, [[vlnový vektor]] \scriptstyle \mathbf{k} popisuje změny fáze s prostorovými souřadnicemi. [96] => : K^\mu = (\omega/c, \mathbf{k}) = (\omega/c, k_x, k_y, k_z) [97] => Vizte též články [[Fázová rychlost]], [[Grupová rychlost]], [[Vlnová rovnice]]. [98] => [99] => === Zajímavé hodnoty === [100] => * Kvadrát čtyřhybnosti se nemění, a až na faktor c odpovídá [[klidová hmotnost|klidové hmotnosti]] tělesa. [101] => :-||P^\mu||^2 = - P^\mu P_\mu = E^2/c^2 - p^2 = m_0^2c^2 [102] => nebo [103] => :E=\pm c \sqrt{p^2+m_0^2 c^2} [104] => * Kvadrát čtyřrychlosti je pro všechny objekty [[konstanta|konstantní]]: -|u|^2 = c^2\,. V tomto smyslu lze říci, že všechny objekty se časoprostorem pohybují stejnou rychlostí c. Tělesa v [[Mechanický pohyb|klidu]] se pohybují touto rychlostí pouze po časové ose, necestují prostorem. Rychle letícímu tělesu ubíhá [[vlastní čas]] pomaleji. [[Foton]]ům při rychlosti c neběží vlastní čas vůbec. [105] => * [[Časoprostorový interval|interval]] neboli „časoprostorová vzdálenost“ dvou událostí se spočte jako velikost rozdílu čtyřvektorů. [106] => *: \eta_{\mu \nu}(x^\mu-y^\mu)(x^\nu-y^\nu) = - c^2 (t_x-t_y)^2 + (x^1-y^1)^2 + (x^2-y^2)^2 + (x^3-y^3)^2 [107] => * [[Skalární součin]] \scriptstyle K^\mu x_\mu = -\omega t + \mathbf{k}\cdot\mathbf{x} je [[fáze vlny|fáze vlnění]]. [108] => * [[Skalární součin]] \scriptstyle J^\mu A_\mu = \rho\varphi-\mathbf{j}\cdot\mathbf{A} je hustota [[interakční energie]] nabitých [[částice|částic]] při pohybu v [[elektromagnetické pole|elektromagnetickém poli]]. [109] => [110] => == Čtyřvektorové operátory == [111] => Také vektorový diferenciální operátor \nabla ([[nabla]]) má přímou analogii, která má všechny vlastnosti čtyřvektorů. [112] => : \nabla_\mu = \partial_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^\mu}= \left({1\over c}{\partial\over\partial t}, \mathbf{\nabla}\right) = \left( {1\over c}{\partial\over\partial t}, {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right) [113] => Čtyřvektorové operace analogické ke [[Gradient (matematika)|gradientu]] a [[divergence|divergenci]] lze pomocí \nabla_\mu zapsat jako: [114] => : \left(\mathrm{grad}\;\varphi\right)_\mu = \nabla_\mu \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}= \left( {1\over c}{\partial\varphi\over\partial t}, \nabla\varphi \right) = \left( {1\over c}{\partial\varphi\over\partial t}, {\partial\varphi\over\partial x}, {\partial\varphi\over\partial y}, {\partial\varphi\over\partial z} \right)\,, [115] => : \mathrm{div}_\mu\;a^\mu = \nabla_\mu a^\mu = {1\over c}{\partial a_t\over\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{a} = {1\over c}{\partial a_t\over\partial t} + {\partial a_x\over\partial x} + {\partial a_y\over\partial y} + {\partial a_z\over\partial z} \,. [116] => Pomocí čtyřdivergence a čtyřproudu lze stručně zapsat například [[zákon zachování elektrického náboje]] ([[rovnice kontinuity|rovnici kontinuity]] pro elektrický proud): [117] => :\nabla_\mu J^\mu = 0 \,. [118] => [119] => Jako analogie [[Laplaceův operátor|Laplaceova operátoru]] (skalární součin dvou nabla) se zavádí také [[d'Alembertův operátor]] \square: [120] => : \square = \nabla^\mu \nabla_\mu = \eta^{\mu \nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu} = -{1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2} + \mathbf{\nabla}^2 \,. [121] => Protože jde o skalární součin čtyřvektorových operátorů, chová se tento operátor jako skalár invariantní vůči změně vztažné soustavy. Pomocí něj lze úsporně zapsat například [[vlnová rovnice|vlnovou rovnici]] [122] => :\square\psi=0\,. [123] => Po zavedení čtyřpotenciálu lze také [[Lorenzova kalibrační podmínka|Lorenzovu podmínku]] vyjádřit stručně jako \scriptstyle \nabla_\nu A^\nu = 0 a všechny [[Maxwellovy rovnice]] pro elektromagnetické pole lze shrnout do jediné čtyřvektorové rovnice [124] => :\square A^\nu=-{\mu J^\nu}\,. [125] => (Konstanta \mu je [[permeabilita]] prostředí.) Na obou stranách rovnice jsou čtyřvektory, takže rovnice se nezmění při Lorentzově transformaci. To znamená, že Maxwellova teorie je evidentně správná z hlediska teorie relativity. Také přímo vidíme, že ve vakuu, kde nejsou volné náboje a proudy, je na pravé straně nula a elektromagnetické pole tedy musí splňovat vlnovou rovnici. To odpovídá šíření [[elektromagnetické vlnění|elektromagnetických vln]] (světla, rádiových vln apod.). [126] => [127] => == Literatura == [128] => * [http://aldebaran.cz/astrofyzika/gravitace/str.html Speciální teorie relativity] – základní vztahy na Aldebaran.cz [129] => * {{MathWorld|id=Four-Vector}} [130] => * Feynmanovy přednášky z fyziky, 2. díl, kapitola 25 – Elektrodynamika v relativistickém zápisu [131] => {{Autoritní data}} [132] => [133] => [[Kategorie:Relativistická fyzika]] [134] => [[Kategorie:Fyzikální veličiny]] [135] => [[Kategorie:Vektory]] [] => )
good wiki

Čtyřvektor

Čtyřvektor je analogie pojmu vektor používaná v teorii relativity. Prostor a čas podle ní tvoří jediný celek, čtyřrozměrný časoprostor.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'časoprostor','Minkowského prostor','Skalární součin','vlastní čas','Lorentzova transformace','Lorentzův faktor','vektor','klidová hmotnost','Vlnová rovnice','hybnost','inerciální vztažná soustava','Foton'

Časoprostor

Foton

Hybnost

Vektor