Account App Integration - Responsive Website Template

Array ( [0] => 15480839 [id] => 15480839 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Aritmetika [uri] => Aritmetika [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => Aritmetika je matematická disciplína, která se zabývá studiem základních matematických operací, jako jsou sčítání, odčítání, násobení a dělení. Je to jedna z nejstarších a nejjednodušších oblastí matematiky, která se zabývá manipulací a porozuměním číslům. Aritmetika vychází z používání čísel, jejich vzájemných vztahů a základních matematických pravidel. Historicky se aritmetika vyvíjela společně s lidskou civilizací. První záznamy o jejím použití pocházejí z přibližně 3000 př. n. l. z mezopotámského území, kde se včetně sumerského písma objevují i zápisy matematických problémů a operací. V průběhu času se aritmetika rozvíjela a byla obrovským přínosem pro mnoho vědeckých oborů, včetně fyziky, chemie, ekonomie a informatiky. Aritmetika se skládá z několika částí, včetně číselných operací, aritmetických vztahů a zákonů, metod pro provedení rovnic a nerovnic, binárních operací a aritmetických operací se zlomky, desetinými čísly a čísly s plovoucí desetinnou čárkou. Kromě toho se aritmetika také zabývá různými druhy čísel, včetně přirozených, celých, racionálních a iracionálních čísel. Aritmetika je základem pro další pokročilé matematické disciplíny, jako je algebra, geometrie a matematická analýza. Je také základem pro rozvoj numerických metod a výpočetních technik v moderním světě. Aritmetika je nezbytná pro každodenní život a je nedílnou součástí vzdělávacího procesu ve školách ve většině zemí. Celkově se jedná o důležitou disciplínu matematiky, která je široce používána ve všech aspektech lidského života. Abychom mohli úspěšně aplikovat aritmetiku, je důležité rozumět jejím základům a matematickým pravidlům, a také být schopni správně aplikovat aritmetické operace a vyřešit matematické problémy. [oai] => Aritmetika je matematická disciplína, která se zabývá studiem základních matematických operací, jako jsou sčítání, odčítání, násobení a dělení. Je to jedna z nejstarších a nejjednodušších oblastí matematiky, která se zabývá manipulací a porozuměním číslům. Aritmetika vychází z používání čísel, jejich vzájemných vztahů a základních matematických pravidel. Historicky se aritmetika vyvíjela společně s lidskou civilizací. První záznamy o jejím použití pocházejí z přibližně 3000 př. n. l. z mezopotámského území, kde se včetně sumerského písma objevují i zápisy matematických problémů a operací. V průběhu času se aritmetika rozvíjela a byla obrovským přínosem pro mnoho vědeckých oborů, včetně fyziky, chemie, ekonomie a informatiky. Aritmetika se skládá z několika částí, včetně číselných operací, aritmetických vztahů a zákonů, metod pro provedení rovnic a nerovnic, binárních operací a aritmetických operací se zlomky, desetinými čísly a čísly s plovoucí desetinnou čárkou. Kromě toho se aritmetika také zabývá různými druhy čísel, včetně přirozených, celých, racionálních a iracionálních čísel. Aritmetika je základem pro další pokročilé matematické disciplíny, jako je algebra, geometrie a matematická analýza. Je také základem pro rozvoj numerických metod a výpočetních technik v moderním světě. Aritmetika je nezbytná pro každodenní život a je nedílnou součástí vzdělávacího procesu ve školách ve většině zemí. Celkově se jedná o důležitou disciplínu matematiky, která je široce používána ve všech aspektech lidského života. Abychom mohli úspěšně aplikovat aritmetiku, je důležité rozumět jejím základům a matematickým pravidlům, a také být schopni správně aplikovat aritmetické operace a vyřešit matematické problémy. [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => '''Aritmetika''' (starořečtina ἀριθμητική , arithmētikḗ - z ἀριθμός , arithmós „číslo“) je obor [[Matematika|matematiky]], který studuje čísla, jejich vztahy a vlastnosti. Předmětem aritmetiky je pojem čísla ([[Přirozené číslo|přirozené]], [[celé číslo]], racionální, [[Reálné číslo|reálné]], [[Komplexní číslo|komplexní]] číslo) a jeho vlastnosti. Aritmetika se zabývá měřeními, operacemi s čísly ([[sčítání]], [[odčítání]], [[násobení]], [[dělení]]), atd. [1] => [2] => Teoretická aritmetika věnuje pozornost definici a analýze pojmu číslo. Formální aritmetika pracuje s logickými konstrukcemi [[Predikát (logika)|predikátů]] a [[axiom]]ů. Aritmetika je nejstarší ze základních matematických věd; úzce souvisí s [[Algebra|algebrou]], [[Geometrie|geometrií]] a [[Teorie čísel|teorií čísel]]. [3] => [4] => == Historie == [5] => {{Viz též|Dějiny matematiky}} [6] => Nejstarší písemné záznamy naznačují, že Egypťané a Babyloňané používali základní aritmetické operace již v roce 2000 př. n. l. [[Hieroglyf]]ický systém (egyptské číslice) a pozdější [[římské číslice]] se používali pro počítání. V obou případech byla používána [[desítková soustava]], ale nebyla poziční. Poziční soustavy čísel používaly základ 60 pro [[Babylonie|babylonské]] číslice a základ 20, který definoval [[Mayská dvacítková soustava|mayské]] číslice. Schopnost opětovného použití již definovaných číslic pro různé hodnoty přispěla k jednodušším a efektivnějším metodám výpočtu.{{Citace elektronické monografie [7] => | příjmení = Folta [8] => | jméno = Jaroslav [9] => | titul = Dějiny matematiky [10] => | url = http://prague.technical.museum/data/veda-a-vyzkum/publikace/folta_dejiny_matematiky_i.pdf [11] => | místo = Praha [12] => | datum vydání = 2004 [13] => | datum přístupu = 11.3.2021 [14] => | url archivu = https://web.archive.org/web/20210417024826/http://prague.technical.museum/data/veda-a-vyzkum/publikace/folta_dejiny_matematiky_i.pdf [15] => | datum archivace = 2021-04-17 [16] => | nedostupné = ano [17] => }} [18] => [19] => Kontinuální historický vývoj moderní aritmetiky začíná u helénistické civilizace starověkého [[Řecko|Řecka]] (vznikl však později než babylonské a egyptské příklady). [[Eukleidés|Euklides]] shromáždil všechny znalosti té doby z matematiky. Jeho práce obsahuje nejen [[Geometrie|geometrii]], ale jsou zde shrnuty všechny výsledky bádání z této doby v oblasti matematiky. Na vznik matematických pojmů a operací s nimi, působily praktické podněty ([[obchod]], [[Peníze|peněžnictví]], [[zeměměřičství]], mořeplavby, [[astronomie]]…).{{Citace periodika [20] => | příjmení = Bečvář [21] => | jméno = Jindřich [22] => | titul = Hrdinský věk řecké matematiky [23] => | periodikum = Historie matematiky I [24] => | datum vydání = 1994 [25] => | strany = 20–107 [26] => | url = https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400590 [27] => | datum přístupu = 2021-03-11 [28] => }} [[Pythagoras|Pythagoras ze Samu]] a jeho žáci velkou měrou přispěli k rozvoji aritmetiky, Pythagorejci prosazovali studium tzv. [[Kvadrivium|kvadrivia]], které sestávalo z geometrie, aritmetiky, [[astronomie]] a [[Hudba|hudby]]. [29] => [30] => Ve [[středověk]]u byla aritmetika podle novoplatonistů zařazena mezi [[sedm svobodných umění]]. Na základě praktického používání aritmetiky, měly význam přibližné výpočty [[Iracionální číslo|iracionálních čísel]], které byly nezbytné pro [[Eukleidovská konstrukce|geometrické konstrukce]]. Aritmetika se vyvíjela v Indii a zemích islámu, odkud nejnovější úspěchy té doby v oblasti matematického myšlení pronikly do západní Evropy. [31] => [32] => Potřebná znalost matematické symboliky nebyla ve středověku a v raném novověku dostačující pro praktické využití. Vznikaly různé předpisy pro výpočet. Toto pojetí se zachovalo až do přelomu středověku a novověku. [33] => [[Soubor:Pascaline calculator.jpg|vlevo|náhled|Pascaline - mechanické počítadlo]] [34] => [[William Oughtred]] (1574–1660) používal x jako znak násobení, které někdy vynechával. [[Thomas Harriot]] (1560–1621) používal dnes běžné symboly pro „větší než“ (>) a „menší než“ (<), i malá písmena pro označení proměnné. [[Robert Recorde]] (1510–1558) zavedl znaménko rovná se (=). Zápis čtverce zavedl [[René Descartes]] (1596–1650). [35] => [[Soubor:Mechanical-Calculator.png|vlevo|náhled|Mechanický kalkulátor]] [36] => Na začátku 17. století vynalezl [[John Napier]] [[Logaritmus|logaritmy]] a [[Pierre de Fermat|Fermat]] poté oddělil [[Teorie čísel|teorii čísel]] do nezávislé větve aritmetiky. Pro numerické výpočty byly vynalezeny a široce používány různé typy nástrojů. Před renesancí to byly různé druhy [[Počítadlo|abaků]]. Mezi novější patřily mechanické kalkulačky, např. Pascalova kalkulačka. [37] => [38] => K axiometrickému vybudování aritmetiky dochází až v 19. století. Na [[Bernard Bolzano|Bolzanově]] pojmu [[Množina|množin]], vybudoval [[Georg Cantor]] teorii [[Kardinální číslo|kardinálních]] a [[Ordinální číslo|ordinálních čísel]]. Na začátku 20. století [[Ernst Zermelo]] publikoval axiomatiku teorie množin, která se stala mimo jiné i základem při výstavbě aritmetiky.BALADA, František Z dějin elementární matematiky. Praha SPN 1959 [cit. 2021-03-14] [39] => [40] => == Předmět aritmetiky == [41] => [[Soubor:Giuseppe Peano.jpg|náhled|Giuseppe Peano v roce 1889]] [42] => Aritmetika je nauka o číslech; zabývá se jejich definicí, způsoby zápisu a operacemi s nimi prováděnými. [[Giuseppe Peano]] v roce 1889 formuloval [[axiom]]y přirozených čísel. Na základě [[axiomatická teorie množin|axiomatické teorie množin]] přirozených čísel jsou konstruovány další číselné množiny (celých čísel, reálných, komplexních čísel). [43] => [44] => K hlavním operacím s čísly (sčítání, odčítání, násobení a dělení), lze přiřadit operace [[Umocňování|mocnění]] a [[Odmocnina|odmocnění]], i řešení rovnic. Seznam aritmetických operací historicky zahrnoval také dělení dvěma i dělení se zbytkem a hledání součtu aritmetických a geometrických řad. [45] => [46] => V reálném životě jsou matematické výpočty a měření potřebné pro praktické účely (zlomky, procenta, trojčlenka) označovány jako praktická aritmetika, zatímco logická analýza pojmu čísla je označována jako teoretická aritmetika. Aritmetické operace, jako je [[umocňování]] a řešení kořenů rovnic jsou součástí [[Algebra|algebry]]. V tomto ohledu je po [[Isaac Newton|Newtonovi]] a [[Carl Friedrich Gauss|Gaussovi]] považována [[algebra]] za zobecnění aritmetiky. Neexistují jasné hranice mezi aritmetickou, elementární algebrou a teorií čísel. [47] => [48] => == Elementární aritmetika == [49] => Elementární aritmetika je matematická disciplína zabývající se počítáním s [[Přirozené číslo|přirozenými]], [[Celé číslo|celými]] a [[Racionální číslo|racionálními]] čísly. Vyučuje se již na [[Základní škola|základní škole]]. Běžně používané základní operace elementární aritmetiky jsou [[sčítání]], [[Odčítání|odečítání]], [[násobení]] a [[dělení]], ale do aritmetiky samozřejmě patří i další operace jako počítání s [[Procento|procenty]], [[Umocňování|mocniny]] a [[Odmocnina|odmocniny]], [[Exponenciální funkce|exponenciální]] a [[Logaritmus|logaritmické funkce]]. [50] => [51] => === Číselné obory === [52] => {{Viz též|Přirozené číslo|Celé číslo|Racionální číslo|Reálné číslo}}První písemné záznamy o přirozených číslech pocházejí z Mezopotámie a Egypta z období asi 3500 před n. l. Jako přirozená čísla označujeme čísla, která používáme k vyjádření počtu prvků konečných neprázdných [[Množina|množin]] (počtu osob, zvířat, předmětů apod.). Nulu začali používat v zápisech babylonští matematikové asi 2000 let před n. l., nezávisle na nich objevili nulu i Mayové. Do Evropy přinesl nulu Leonardo Pisánský ([[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]) - v díle ''Liber Abaci'' (Kniha o abaku) z roku 1202.{{Citace elektronického periodika [53] => | titul = Číselné obory {{!}} Eduportál Techmania [54] => | periodikum = edu.techmania.cz [55] => | url = https://edu.techmania.cz/cs/encyklopedie/matematika/aritmetika/ciselne-obory [56] => | datum přístupu = 2021-03-14 [57] => }} [58] => [59] => === Sčítání, násobení, umocňování === [60] => {{Viz též|Sčítání|násobení|umocňování}} [61] => Při sčítání (součet) a násobení (součin) přirozených čísel výsledek je číslo přirozené. Násobení (resp. opakované sčítání) přirozených čísel je také přirozené číslo. Analogicky s definicí násobení sčítáním lze vícenásobné násobení použít jako definici operaci umocňování. Lze říci, že [[množina]] přirozených čísel je uzavřená vzhledem k operaci sčítání a násobení, pro odčítání a dělení není uzavřená. [62] => [63] => ==== Základní zákony aritmetiky ==== [64] => {{Viz též|Komutativita|Asociativita|Distributivita}} [65] => Pro každé přirozené číslo platí: [66] => [67] => * věta o komutativnosti: sčítání: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 (zamění-li se pořadí sčítanců, součet se nezmění); násobení: 5 . 4 = 4 . 5 = 20 (zamění-li se pořadí činitelů, součin se nezmění) [68] => * věta o asociativnosti: sčítání: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) = 11 (změní-li se umístění závorek, součet se nezmění; násobení: (10 . 5) . 2 = 10 . (5 . 2) = 100 (změní-li se umístění závorek, součin se nezmění) [69] => * věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení: 10 . 1 = 10 (násobením čísla jedničkou se číslo nezmění [70] => * věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání : 5 . (2 + 3) = 5 . 2 + 5 . 3 = 25{{Citace monografie [71] => | příjmení = Čermák [72] => | jméno = Pavel [73] => | titul = Odmaturuj! z matematiky [74] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/53261459 [75] => | vydání = Vyd. 2., (opr.) [76] => | vydavatel = Didaktis [77] => | místo = Brno [78] => | počet stran = 208 [79] => | isbn = 80-86285-97-9 [80] => | isbn2 = 978-80-86285-97-9 [81] => | oclc = 53261459 [82] => }} [83] => [84] => Kromě základních zákonů aritmetiky jsou pro přirozená čísla splněna i pravidla monotónnosti sčítání a násobení{{Citace elektronického periodika [85] => | titul = Arithmetic [86] => | periodikum = Encyclopedia Britannica [87] => | url = https://www.britannica.com/science/arithmetic [88] => | jazyk = en [89] => | datum přístupu = 2021-03-12 [90] => }}, zápis v algebraické formě: [91] => [92] =>

a + b > a + c \lor b> c

[93] => [94] =>

a .b > a .c \lor b> c

a> 0

[95] => [96] => Základní pravidla pro operaci [[umocňování]] vyplývají z její definice. V algebraické formě je lze psát následovně: [97] => [98] =>

a^n .a^m = a^{n+m}

; [99] => [100] =>

\frac{a^n}{a^m} = a^{n -m} ; n>m

; [101] => [102] =>

(a^n)^m = a^{nm}

[103] => [104] => ==== Odčítání, záporná čísla ==== [105] => {{Viz též|Odčítání|Kladné a záporné číslo|Celé číslo}} [106] => Odčítáním většího čísla od menšího vznikne záporné číslo. Poprvé se koncept záporných čísel objevil v Indii, byl interpretována jako „dluh“ (kladná čísla - „majetek“). Záporná čísla se rozšířila až v 17. století. Termín „odčítání“ vytvořil [[Boethius z Dácie|Boethius]] , termíny „odečteno“ a „zmenšený“ vytvořil Wolf v roce 1716, „rozdíl“ - Widman v roce 1489. Moderní označení se značkami „+“ a „-“ zavedl také [[Johannes Widmann|Widmann]] na konci 15. století. Teprve v 18. století [[Leonhard Euler]], [[Isaac Newton]] nebo [[René Descartes]] začali zavádět [[Kladné a záporné číslo|záporná čísla]]. Množina čísel, zahrnující přirozená čísla, nulu a záporná čísla je obor [[Celé číslo|celých čísel]]. [107] => [[Soubor:Venn Diagram of Numbers-dty.svg|náhled|Vennův diagram zobrazení vztahu množin čísel]] [108] => [109] => ==== Dělení, racionální čísla ==== [110] => {{Viz též|Dělení|Desetinné číslo|Dělitelnost|Racionální číslo|Zlomek}} [111] => Při dělení přirozených čísel, často nebyl výsledek v oboru přirozených čísel. Např. 6 : 3 = 2, ale již 6 : 4 = 1,5 (resp.

1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}

). Byla zavedena nová čísla – [[Zlomek|zlomky]], které se poprvé objevily už 3000 před n. l. v Mezopotámii a Egyptě. Zlomky společně s celými čísly tvoří množinu racionálních čísel, používají se k vyjádření počtu celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod. Množina racionálních čísel je uzavřená pro předchozí čtyři operace. [112] => [113] => ==== Odmocnění, reálná čísla, komplexní čísla ==== [114] => {{Viz též|Reálné číslo|Komplexní číslo}} [115] => Odmocnit některá racionální čísla není problém, např.

\sqrt{4} = \pm 2

; ale

\sqrt{2} = 1{,}414213562...

V rozvoji se žádná skupina číslic neopakuje, nejedná se tedy o číslo racionální s periodickým rozvojem, ale o množinu čísel, které se nazývají iracionální. Kladná iracionální čísla se objevila okolo roku 300 před n. l. ve spisech [[Eukleidés|Eukleida]]. Množina iracionálních čísel se označuje ''I'' a patří sem √2, √5, π atd. Množina, která obsahuje všechna přirozená, celá, racionální a iracionální čísla se nazývá množina reálných čísel, značí se ''R''. [116] => [117] => Odmocňování např. při řešení kvadratické rovnice

x^2 + 1 = 0

; její řešení vede na

x^2 = -1

. Aby rovnice měla řešení, byla zavedena [[komplexní jednotka]]

i

(platí

i\cdot{}i = i^2 = -1

). [118] => [119] => Komplexní jednotka je součástí imaginárního čísla (např. 4''i''), jehož označení pochází od [[René Descartes]]a. Komplexní číslo se zapisuje jako dvojčlen

a_1 + a_2i

, v tomto zápisu se číslo

a_1

nazývá reálná část,

a_2

imaginární část komplexního čísla. Množina komplexních čísel se značí ''C''. [120] => [121] => Ve [[Starověké Řecko|starověkém Řecku]] (na příkladu výpočtu úhlopříčky čtverce - straně byla přiřazena hodnota 1), byly učiněny pokusy získat přesnou číselnou hodnotu dané úhlopříčky. Což se odrazilo v Euklidových „Počátcích“. Skutečná čísla se stala předmětem výzkumu až v 17.–18. století. Ve druhé polovině 19. století formulovali [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Georg Cantor|Cantor]] a [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] své konstruktivní metody pro stanovení reálného počtu. [122] => [123] => == Formální aritmetika == [124] => Formální [[teorie aritmetiky]] je nedílnou součástí [[matematická logika|matematické logiky]]. Existuje mnoho formálních aritmetik, nejdůležitějšími jsou aritmetiky [[Presburgerova aritmetika|Presburgerova]], [[Robinsonova aritmetika|Robinsonova]] a [[Peanova aritmetika|Peanova]]. Zkoumáním vlastností formálních aritmetik lze dosáhnout mnoha významných výsledků – jednoznačně nejslavnějším z nich jsou [[Gödelovy věty o neúplnosti]]. [125] => [126] => == Reference == [127] => {{Překlad|ru|Арифметика|112934594}} [128] => [129] => [130] => == Související články == [131] => * [[Algebra]] [132] => * [[Aritmetická funkce]] [133] => * [[Základní věta aritmetiky]] [134] => [135] => == Externí odkazy == [136] => * {{Commonscat}} [137] => [138] => {{Autoritní data}} [139] => {{Portály|Matematika}} [140] => [141] => [[Kategorie:Aritmetika| ]] [142] => [[Kategorie:Sedm svobodných umění]] [143] => [[Kategorie:Obory a disciplíny matematiky]] [] => )

good wiki

Aritmetika

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

Aritmetika

About

Expert Team

Award winning agency

10 Year Exp.

You might be interested in

Algebra

Dělení

Eukleidés

Geometrie

Násobení

Odmocnina

Umocňování

Service

About us

Technology

Locations