Array ( [0] => 15481508 [id] => 15481508 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Elipsa [uri] => Elipsa [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => [[Soubor:Elipse.svg|náhled|vpravo|300px|Elipsa]] [1] => {{Různé významy|tento=pojmu z geometrie|druhý=lingvistickém pojmu|rozlišovač=lingvistika}} [2] => '''Elipsa''' je uzavřená [[křivka]] v [[rovina|rovině]]. Elipsu lze definovat jako množinu všech [[bod]]ů v rovině, které mají stálý [[součet]] [[vzdálenost]]í ''2a'' od dvou pevně daných bodů, tzv. '''ohnisek''' (v obrázku označeny ''F1, F2''; ''|F1F2| < 2a''). Elipsa patří mezi [[kuželosečka|kuželosečky]], je to algebraická křivka 2. stupně. Velký praktický význam má v konstruktivní geometrii, protože vzniká jako průmět kružnice, jiné kuželosečky anebo v [[astronomie|astronomii]], protože velmi přesně popisuje tvar dráhy těles v gravitačním poli centrálního tělesa. [3] => [4] => == Pojmosloví == [5] => * '''Průvodič''' je [[úsečka]], spojující libovolný bod na elipse s ohniskem. [6] => * '''Střed elipsy''' je střed [[úsečka|úsečky]], jejíž konce tvoří ohniska elipsy (značí se ''S''). [7] => * '''Hlavní osa''' je přímka procházející ohnisky elipsy. Někdy se takto označuje pouze průměr (úsečka) procházející ohnisky. Je to nejdelší průměr elipsy (délky ''2a''). [8] => * '''Hlavní vrcholy''' jsou průsečíky elipsy s hlavní osou (v obrázku označeny ''A'', ''B''). [9] => * '''Hlavní poloosa''' je úsečka spojující střed elipsy s hlavním vrcholem (délky ''a=|AS|=|BS|''). [10] => * '''Vedlejší osa''' je kolmice na hlavní osu procházející středem elipsy. Někdy se takto označuje pouze průměr kolmý na hlavní osu elipsy. Jedná se o nejkratší průměr elipsy (délky ''2b''). [11] => * '''Vedlejší vrcholy''' jsou průsečíky elipsy s vedlejší osou (v obrázku označeny ''C'', ''D''). Vzdálenost vedlejších vrcholů od ohnisek je rovna délce hlavní poloosy, tj. ''|CF1|=|CF2|=|DF1|=|DF2|=a''. [12] => * '''Vedlejší poloosa''' je úsečka spojující střed elipsy s vedlejším vrcholem (délky ''b=|CS|=|DS|''). [13] => * '''[[Excentricita]]''' '''(výstřednost),''' podrobněji '''lineární''' nebo '''délková excentricita,''' je vzdálenost ohniska a středu elipsy (značí se ''e''). [14] => * '''Číselná''' neboli '''numerická excentricita''' ''ε'' je [[Dělení|podíl]] excentricity a délky hlavní poloosy, tj. ''ε=e/a''. [15] => [16] => == Rovnice == [17] => [[Image:Ellipse parameters.png|náhled|300px|Parametry elipsy:
[18] => ''a'' – délka hlavní poloosy
[19] => ''b'' – délka vedlejší poloosy
[20] => ''F1'', ''F2'' – ohniska
[21] => ''e'' – excentricita
[22] => ''p'' – parametr]] [23] => Rovnici elipsy lze zapsat v různých tvarech. [24] => [25] => === Kanonický tvar === [26] => Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou x a střed má souřadnice [x_0,y_0]) je [27] => : \frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1 [28] => [29] => V [[kartézská soustava souřadnic|kartézských souřadnicích]] lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit [[rovnice|rovnicí]] [30] => : \left({x\over a}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2 = 1\,, [31] => kde ''a'' je délka hlavní poloosy, ''b'' je délka vedlejší poloosy a [x,y] jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina e = \sqrt{a^2-b^2} se nazývá '''excentricita elipsy''' (výstřednost) a vyjadřuje [[vzdálenost]] ohniska od středu elipsy. [32] => [33] => === Vrcholová rovnice === [34] => Vrcholová rovnice elipsy má tvar [35] => : y^2 = 2px - \frac{p}{a}x^2, [36] => kde p = \frac{b^2}{a} je tzv. ''parametr elipsy''. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou x. [37] => [38] => === Rovnice kuželosečky === [39] => [[Kuželosečka#Algebraické vyjádření|Obecná rovnice kuželosečky]] [40] => :a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0 [41] => je rovnicí elipsy, pokud platí [42] => a_{12}^2 - 4 a_{11} a_{22} < 0, [43] => a rovnicí elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky [44] => : \sgn a_{11} = \sgn a_{22} = \sgn (a_{22} a_{13}^2 + a_{11} a_{23}^2 - a_{11} a_{22} a_{33}) [45] => : a_{12}=0 [46] => : |a_{11}|<|a_{22}| [47] => [48] => Elipsa zadaná [[rovnice|rovnicí]] kuželosečky splňující tyto podmínky má hlavní poloosu o délce [49] => : a = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^2 a_{22}}} [50] => Délka vedlejší poloosy je [51] => : b = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^2 a_{11}}} [52] => Střed elipsy má souřadnice [53] => : \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right] [54] => [55] => === Parametrické rovnice === [56] => Elipsu lze vyjádřit [[parametrická funkce|parametrickými rovnicemi]] [57] => : x = a\,\cos t [58] => : y = b\,\sin t [59] => kde t\in\langle 0,2\pi \rangle je tzv. ''excentrická anomálie''. [60] => [61] => === Rovnice v polárních souřadnicích === [62] => V [[polární soustava souřadnic|polárních souřadnicích]] lze v případě, že ohnisko F_2 leží v počátku souřadnicové soustavy a [[polární osa|polární osou]] je [[polopřímka]] F_2S_1 (tj. na obrázku výše osa X, od které bude proti směru hodinových ručiček přibývat úhel \varphi) psát rovnici elipsy ve tvaru [63] => : \rho = \frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi}, [64] => kde \varepsilon = e/a < 1 je tzv. '''číselná výstřednost''' a p je ''parametr elipsy''. Číselná výstřednost vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od [[kružnice]]. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam ''parametru'' je polovina délky [[Tětiva (geometrie)|tětivy]] vedené ohniskem [[Ortogonalita|kolmo]] na hlavní osu. [65] => [66] => Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka SS_1, pak dostáváme rovnici [67] => : \rho^2 = \frac{b^2}{1-\varepsilon^2 \cos^2 \varphi} [68] => pro \varepsilon<1. [69] => [70] => == Geometrické vlastnosti elipsy == [71] => O elipse říkáme, že je v ''normální poloze'', je-li její hlavní osa [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou x nebo y. [72] => [73] => Elipsa patří mezi '''[[kuželosečka|kuželosečky]]''', protože ji lze zkonstruovat jako [[rovinný řez|řez]] [[kužel|rotační kuželové plochy]] rovinou. Rovina řezu není kolmá k ose kužele, neprochází jeho [[vrchol (geometrie)|vrcholem]] a rovina s ní [[rovnoběžné roviny|rovnoběžná]] vedená vrcholem nemá s kuželem žádný společný bod. [74] => [75] => Každá přímka procházející středem ''S'' elipsy je jejím '''průměrem'''. Ze dvou na sebe kolmých průměrů ''m'' a ''n'' s pomocí trojúhelníkové konstrukce (viz Konstrukce elipsy) můžeme sestrojit '''sdružené průměry''' ''ma'' a ''na'', v jejichž koncovými body prochází rovnoběžky s ''na'' a ''ma'', které jsou zároveň [[tečna]]mi elipsy, a vytvářejí tak [[rovnoběžník]]. Jediné 2 sdružené průměry, které jsou na sebe kolmé, jsou osy elipsy. Dva sdružené průměry omezené body náležícími elipse jednoznačně určují elipsu. [76] => [77] => '''Odrazová vlastnost''' elipsy: U [[zrcadlo|zrcadla]] s vnitřní eliptickou odrazovou plochou a zdrojem [[světlo|světla]] v jednom ohnisku se všechny paprsky podle [[zákon odrazu|zákona odrazu]] odrazí do jediného bodu — druhého ohniska. Žádná jiná křivka nemá tuto vlastnost, takže ji lze použít jako alternativní definici elipsy. [78] => [79] => '''[[Obsah]]''' plochy ohraničené elipsou lze určit ze vzorce [80] =>
[81] => S = \pi a b \,, [82] =>
[83] => kde ''a,b'' jsou poloosy a \pi je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]]. [84] => [85] => '''[[Obvod (geometrie)|Obvod]]''' (délku elipsy) lze určit pomocí vztahu [86] =>
o = 4aE (\varepsilon),
[87] => kde ''a'' je hlavní poloosa, ''ε'' (číselná) excentricita a funkce E je úplný [[eliptický integrál]] druhého druhu, nebo ''přibližných'' vzorců [88] =>
Peanův vzorec (odchylka menší než 0,02 % až pro \varepsilon < 0{,}8): [89] => o \approx \pi \left[{{3\over 2}\left(a+b\right) - \sqrt{ab} }\right]\,, [90] =>
[91] =>
nebo např. [92] => o \approx {\pi\over 2} \left[{a + b + \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\right]\,, [93] =>
[94] => či částečným součtem [[nekonečná řada|nekonečné řady]]: [95] =>
[96] => o = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right]\,.
[97] => [98] => '''Speciálním případem''' elipsy je [[kružnice]], u které obě ohniska splývají. Excentricita je pak [[nula|nulová]], obě poloosy stejně dlouhé a říkáme jim ''[[poloměr]]''. [99] => [100] => '''Limitním případem''' elipsy je [[Parabola (matematika)|parabola]], kterou lze chápat jako elipsu s jedním [[nevlastní bod|nevlastním]] ohniskem. [101] => [102] => == Konstrukce elipsy == [103] => === Zahradnická konstrukce === [104] => [[Soubor:Elliko-g.svg|vpravo|300px|náhled|Zahradnická konstrukce elipsy]] [105] => Zahradnická konstrukce elipsy vychází přímo z definice, že elipsa je množina takových bodů v rovině, které mají stejný součet vzdáleností od obou ohnisek: v ohniscích elipsy se zabodnou kolíky (při kreslení na papír špendlíky), ke každému z nich se připevní jeden konec provázku (nitě) větší délky než je jejich vzdálenost, a opíše se elipsa, tak aby byl provázek napnutý. Je zřejmé, že délka provázku se rovná dvojnásobku velikosti velké poloosy, a že vzdálenost vedlejšího vrcholu od ohniska je rovna délce velké poloosy ''a''. [106] => [107] => === Trojúhelníková konstrukce === [108] => [[Soubor:Ellipse affinite3.svg|vpravo|300px|náhled|Sestrojení elipsy s využitím [[afinní zobrazení|afinity]]. [[Polopřímka]] ''p'' je znázorněna červeně, části přímek ''p1'' a ''p2'' zeleně.]] [109] => Trojúhelníková konstrukce elipsy vychází z faktu, že elipsa je [[Afinní zobrazení|afinním]] obrazem [[kružnice]]''Konstruktivní geometrie'': str. 88-94. Jaroslav Černý a Marie Kočandrlová. Vydavatelství ČVUT, Praha 1998. {{ISBN|80-01-01815-6}}: [110] => [111] => Je zadán střed ''S'', osy ''o1 a o2'' a délky [[poloosa|poloos]]: ''a'' (hlavní), ''b'' (vedlejší). [112] => [113] => ==== Postup ==== [114] => # Sestrojíme kružnici ''k1'' se středem v bodě ''S'' a [[poloměr]]em velikosti ''b''. [115] => # Sestrojíme kružnici ''k2'' se středem v bodě ''S'' a [[poloměr]]em velikosti ''a''. [116] => # Vedeme libovolnou [[polopřímka|polopřímku]] ''p'' vycházející z bodu ''S''. [117] => # Bod ''M1'' je průsečík polopřímky ''p'' s kružnicí ''k1''. [118] => # Bod ''M2'' je průsečík polopřímky ''p'' s kružnicí ''k2''. [119] => # Bodem ''M1'' vedeme přímku ''p1'' rovnoběžnou s hlavní osou elipsy ''o1''. [120] => # Bodem ''M2'' vedeme přímku ''p2'' rovnoběžnou s vedlejší osou elipsy ''o2''. [121] => # Průsečíkem přímek ''p1'' a ''p2'' je bod ''M'', který je bodem elipsy [122] => # Opakujeme body postupu 3-8; všechny takto sestrojené body elipsy se nachází mezi kružnicemi ''k1'' a ''k2'' nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů). [123] => [[Soubor:Prouzkova rozdilova konstrukce elipsy.jpg|náhled|300px|vpravo|Rozdílová: proužková konstrukce elipsy. Používáme rozdíl ''a - b''.]] [124] => [[Soubor:Prouzkova souctova konstrukce elipsy.jpg|náhled|300px|vpravo|Součtová: proužková konstrukce elipsy. Používáme součet ''a + b''.]] [125] => [126] => === Proužková konstrukce === [127] => Elipsa je určena hlavní osou ''o1'', hlavními vrcholy ''A'' a ''B'' a bodem ''M'', který bude ležet na elipse, ale není vrcholem elipsy. [128] => [129] => ==== Postup ==== [130] => Rozdílová konstrukce (viz obrázek): První krok pro získání velikosti poloosy ''b'' je podobný s trojúhelníkovou konstrukcí: sestrojíme k hlavní ose ''o1'' [[kolmice|kolmici]] ''m1'' a [[rovnoběžka|rovnoběžku]] ''m2'' které procházejí známým bodem M. Kružnice ''k1'' se středem v ''S'' má poloměr velikosti ''a''. Vznikl nám tak bod ''M1'' který je průsečíkem kolmice ''m1'' a kružnice ''k1''. Bod ''M1'' spojíme přímkou ''m'' se středem ''S'' a nyní je už zřejmý bod ''M2'', jenž je průsečíkem ''m'' s ''m2''. Vzdálenost ''M2'' od ''S'' je hledaná velikost poloosy ''b''.
[131] => Bodem ''M'' povedeme rovnoběžku ''m´'', ''m'' || ''m´''.
Průsečík této přímky m´ s hlavní poloosou ''o1'' nazveme ''P1''. Vzniklá úsečka ''MP1'' má velikost ''b''.
[132] => Průsečík této přímky m´ s vedlejší poloosou ''o2'' nazveme ''P2''. Vzniklá úsečka ''MP2'' má velikost ''a''. [133] => Nyní si na okraji pomocného pruhu papíru označíme vzdálenosti ''MP2'' a ''MP1'' do jedné přímky ''M'' - ''P1'' - ''P2'' (z tohoto plyne název proužková konstrukce). Poté přikládáme proužek papíru tak, aby značka bodu ''P2'' byla na vedlejší poloose ''o2'' a zároveň značka bodu ''P1'' byla na hlavní poloose ''o1''. Značka bodu ''M'' nám tak bude opisovat hledanou elipsu. [134] => Tento typ konstrukce se nazývá rozdílová. Používá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku vpravo. [135] => [[Soubor:Prickova konstrukce elipsy.jpg|náhled|vpravo|300px|Příčková konstrukce elipsy. Hledání průsečíků, které leží na elipse.]] [136] => [137] => === Příčková konstrukce === [138] => Elipsa je v tomto případě dána dvojicí sdružených průměrů ''RQ'' a ''MN'', které na sebe nejsou kolmé (viz Geometrické vlastnosti elipsy). [139] => [140] => ==== Postup ==== [141] => V bodech ''R'' a ''Q'' sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem ''MN''. V bodech ''M'' a ''N'' sestrojíme rovnoběžky s druhým sdruženým průměrem ''RQ''. Vznikne nám [[rovnoběžník]] s vrcholy ''M1N1R1Q1'', které jsou průsečíky rovnoběžek k průměrům ''MN'' a ''RQ''.
[142] => Sdružené průměry se protínají v průsečíku ''S'', který je středem elipsy.
[143] => Vytvoříme si čtveřici soustředných (dle středu ''S'') [[Soustava souřadnic|souřadnicových systémů]], jejichž počátky budou vrcholy vzniklého rovnoběžníku ''M1N1R1Q1'' a poloosy budou strany rovnoběžníku. Na všech poloosách si stejně vyznačíme vhodné jednotky (př. 1, 2, 3, 4). Poloosy souřadných systémů se stýkají v koncových bodech sdružených průměrů ''MNRQ''. Jednotky máme již vyznačené na rovnoběžkách sdružených průměrů, tak je ještě stejně vyznačíme přímo na sdružených průměrech ''MN'' a ''RQ'', a to tak, že střed S je počátkem.
[144] => Nyní budeme hledat body náležící elipse. Začneme například body nad sdruženým průměrem ''MN'' v souřadnicovém systému určeným body ''NSQ''. Proložíme přímku bodem ''N'' a souřadnicí (např. 2) na poloose rovnoběžné k ''NM'', na které leží bod ''Q''. Poté proložíme přímku bodem ''M'' a souřadnicí 2 na poloose určené body ''SQ'' (''SQ'' náleží průměru ''RQ''). Průsečík takto proložených přímek nám dává bod ležící na elipse.
[145] => (Pozn. zmiňované poloosy nejsou poloosami elipsy, ale souřadných systémů.) [146] => [147] => Tato elipsa nemá určené osy ani vrcholy, abychom je zjistili, musíme použít Rytzovu konstrukci os elipsy. [148] => [[Soubor:Rytzova konstrukce elipsy.jpg|náhled|300px|vpravo|Rytzova konstrukce os elipsy.]] [149] => [150] => === Rytzova konstrukce os === [151] => Elipsa je dána dvojicí omezených sdružených průměrů ''MN'' a ''RQ''. [152] => [153] => ==== Postup ==== [154] => Sestrojíme přímku ''p'' kolmou k jednomu ze sdružených průměrů (např. ''RQ'', tak aby procházela středem ''S'' (průsečík sdružených průměrů). Vzdálenost |''RS''| je shodná se vzdáleností |''SP''|, bod ''P'' leží na přímce ''p''. Proložíme přímku body ''PM''.
Najdeme střed ''O'' úsečky ''PM''. Sestrojíme kružnici ''k'' o poloměru |OS|. Průsečíky kružnice ''k'' s přímkou určenou body ''P'', ''O'' a ''M'' nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku procházející průsečíkem ''1'' a středem ''S'' a přímku procházející průsečíkem ''2'' a středem ''S''. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší poloosy získáme ze vzdáleností |''2M''| a |''M1''|. [155] => [156] => == Elipsa ve fyzice == [157] => [[Johannes Kepler]] objevil, že [[planeta|planety]] se kolem [[Slunce]] pohybují po elipsách s malou excentricitou. To je [[Keplerovy zákony#1. Keplerův zákon|první Keplerův zákon]]. Později [[Isaac Newton]] vysvětlil tento fakt jako důsledek [[Newtonův gravitační zákon|zákona gravitace]]. [158] => [159] => == Reference == [160] => [161] => [162] => == Související články == [163] => * [[Kuželosečka|Kuželosečky]] [164] => * [[Kružnice]] [165] => * [[Rovinné geometrické útvary]] [166] => * [[Tissotova indikatrix]] [167] => * [[Hypocykloida]] [168] => {{Kuželosečky}} [169] => [170] => == Externí odkazy == [171] => * {{Commonscat}} [172] => * {{Wikislovník|heslo=elipsa}} [173] => * {{MathWorld|id=Ellipse}} [174] => * Dva způsoby rýsování elipsy: [http://www.youtube.com/watch?v=co7U0BfYvgQ využitím hlavní a vedlejší poloosy] nebo [http://www.youtube.com/watch?v=CaokHrXP8HM ohnisek] ([[YouTube]]) [175] => * [http://www.beda.cz/~jirkaj/elipsa/index.html Výpočet obvodu elipsy] [176] => [177] => {{Autoritní data}} [178] => {{Portály|Matematika}} [179] => [180] => [[Kategorie:Obrazce]] [181] => [[Kategorie:Kuželosečky]] [] => )
good wiki

Elipsa

Elipsa Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Elipsu lze definovat jako množinu všech bodů v rovině, které mají stálý součet vzdáleností 2a od dvou pevně daných bodů, tzv.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'kružnice','poloměr','rovnoběžník','rovnoběžky','úsečka','rovnice','vzdálenost','polopřímka','kuželosečka','rovina','rovinný řez','eliptický integrál'

Kružnice

Kuželosečka

Poloměr

Polopřímka

Rovina

Rovnice

Rovnoběžky

Rovnoběžník

Úsečka

Vzdálenost