Array ( [0] => 15489243 [id] => 15489243 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Kužel [uri] => Kužel [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 1 [has_content] => 1 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => {{Různé významy|stránka= Kužel (rozcestník)}} [1] => '''Kužel''' je trojrozměrný [[Geometrický útvar|geometrický tvar]] ohraničený [[#Kuželový prostor a kuželová plocha|kuželovou plochou]] a [[Rovina|rovinou]], která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku. [2] => [[Soubor:kuzelovy_prostor.svg|náhled|Kuželový prostor, ohraničený uzavřenou křivkou|180x180pixelů]] [3] => Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako ''plášť kužele''. [[Rovinný řez|Řez]] kuželového prostoru hraniční [[rovina|rovinou]] vrstvy se nazývá ''podstava kužele''. Plášť kužele a podstava tvoří ''povrch kužele''. [[Bod]], ve kterém se [[rovinný řez]] kužele redukuje na bod, se označuje jako ''vrchol kužele''. [[Ortogonalita|Kolmá]] [[vzdálenost]] mezi rovinou podstavy a vrcholem se nazývá ''výška kužele''. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je ''strana kužele''. [4] => [5] => Je-li podstavou kužele [[Kruh (geometrie)|kruh]], pak se kužel nazývá ''kruhový''. Jestliže [[kolmice]] spuštěná z vrcholu na [[rovina|rovinu]] podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, jde o ''rotační kužel'' nebo také ''kolmý kruhový kužel'', v opačném případě jde o ''kosý kužel''. [6] => [7] => == Základní pojmy == [8] => [[Soubor:kuzel_obecny.svg|náhled|Obecný kužel.|180x180pixelů]] [9] => === Kuželový prostor a kuželová plocha === [10] => Definice: Je dána jednoduchá uzavřená [[křivka]] k, která leží v [[rovina|rovině]] \rho a [[bod]] V, který v dané rovině \rho neleží. [[Množina]] všech [[Přímka|přímek]], které procházejí daným bodem V a křivkou k tvoří ''kuželovou plochu'', která ohraničuje ''kuželový prostor''. Kuželový prostor zahrnuje kromě kuželové plochy i všechny přímky, které protínají rovinu \rho uvnitř křivky k. [11] => [12] => Křivka k se nazývá ''řídicí křivkou'' kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V se nazývá ''[[Vrchol (geometrie)|vrchol]]'' kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Přímky spojující řídicí křivku s vrcholem se nazývají ''povrchové přímky'' (''površky''). [13] => [14] => Přímky kuželového prostoru, které nejsou povrchovými přímkami se nazývají ''vnitřní přímky'' kuželového prostoru a body na nich se nazývají ''vnitřní body'' kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. {{Citace kvalifikační práce [15] => | titul = Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě [16] => | url = https://theses.cz/id/pdryte/?lang=cs;zoomy_is=1 [17] => | instituce = Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta [18] => | rok vydání = 2006 [19] => | datum přístupu = 2023-04-20 [20] => | jazyk = cs [21] => | příjmení = Morávková [22] => | jméno = Blanka [23] => }}{{Citace monografie [24] => | příjmení1 = Hruša [25] => | jméno1 = Karel [26] => | příjmení2 = Kraemer [27] => | jméno2 = Emil [28] => | příjmení3 = Sedláček [29] => | jméno3 = Jiří [30] => | příjmení4 = Vyšín [31] => | jméno4 = Jan [32] => | příjmení5 = Zelenka [33] => | jméno5 = Rudolf [34] => | titul = Přehled elementární matematiky [35] => | vydavatel = Státní nakladatelství technické literatury [36] => | místo = Praha [37] => | rok = 1962 [38] => | vydání = třetí revidované [39] => }} [40] => [41] => === Kruhový kužel === [42] => [[Soubor:Rotační kuželová plocha1.png|náhled|228x228bod|Rotační kuželová plocha ]] [43] => Je-li řídicí křivka kružnice, pak [[kruh]] omezený touto kružnicí k je ''podstavou'' kruhového kužele. Kruhový kužel je [[Geometrický útvar|těleso]] tvořené částí kuželového prostoru mezi rovinou \rho a bodem V. Rovina \rho je rovina [[Podstava|podstavy]] kužele. Kružnice k tvoří ''podstavnou [[Hrana (geometrie)|hranu]]'' a bod V je [[Vrchol (geometrie)|vrchol]] kužele.{{Citace elektronické monografie [44] => | příjmení = Dlouhá [45] => | jméno = Michaela [46] => | titul = Úlohy o objemu a povrchu těles v trojrozměrném prostoru [47] => | url = https://dspace.cuni.cz/bitstream/handle/20.500.11956/41864/BPTX_2011_2__0_257369_0_77786.pdf?sequence=1&isAllowed=y [48] => | vydavatel = Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky a didaktiky matematiky [49] => | datum vydání = 2012 [50] => | datum přístupu = 20.4.2023 [51] => | poznámka = Bakalářská práce [52] => }} [53] => [54] => === Rotační kuželová plocha === [55] => Rotací přímky p, kolem přímky o, pro kterou platí \longleftrightarrow p \nparallel \longleftrightarrow o vznikne ''rotační kuželová plocha''. [56] => [57] => Přímka o je ''osa kuželové plochy''. Každé přímce p, ležící na kuželové ploše se říká ''povrchová přímka'' (''površka'') kuželové plochy. [58] => [59] => Jiná formulace: Rotační kuželová plocha je množina všech přímek p prostoru, které procházejí průsečíkem přímek p a dané přímky o, přičemž odchylka \varphi těchto přímek a přímky o je pro všechny přímky p stejná (0^\circ <\varphi < 90^\circ).{{Citace monografie [60] => | příjmení = Pomykalová [61] => | jméno = Eva [62] => | titul = Matematika pro gymnázia. Stereometrie [63] => | url = https://www.worldcat.org/oclc/36607214 [64] => | vydání = 3., upr. vyd [65] => | vydavatel = Prometheus [66] => | místo = Praha [67] => | počet stran = 223 s. [68] => | isbn = 80-7196-178-7 [69] => | isbn2 = [70] => | oclc = [71] => }} [72] => [73] => Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá ''vrcholová přímka'' a ''vrcholová rovina''. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna ''tečná rovina''. [74] => [75] => == Rotační kužel == [76] => [[Soubor:Cone revolution.gif|vlevo|náhled|184x184bod|Rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem odvěsny]] [77] => [[Soubor:Cone 3d.png|náhled|Rotační kužel (vlevo) a kosý kruhový kužel (vpravo).|240x240pixelů]] [78] => Rotační kužel je těleso vzniklé [[Otočení|rotací]] [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlého trojúhelníku]] kolem přímky o, na které leží jedna jeho [[odvěsna]] nebo rotací [[Rovnoramenný trojúhelník|rovnoramenného trojúhelníku]] kolem jeho [[Výška (geometrie)|výšky]] na základnu. [79] => [80] => * Přímka o je ''osa kužele'', [81] => * bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele, [82] => * podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny [[Kolmice|kolmé]] k ose o , [83] => * poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy, [84] => * výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy, je rovna délce odvěsny, která leží na ose o. [85] => [86] => === Výpočty === [87] => [[Soubor:Výpočty kužel.png|vlevo|náhled|290x290pixelů|Značení kužele – síť kužele]] [88] => Značení kužele [89] => {| class="wikitable" [90] => |r [91] => |poloměr podstavy [92] => |- [93] => |h [94] => |výška kužele (také někdy v) [95] => |- [96] => |s [97] => |délka strany (površky) kužele [98] => |- [99] => |S_p [100] => |obsah podstavy kužele [101] => |- [102] => |S_{pl} [103] => |obsah pláště kužele [104] => |- [105] => |S [106] => |povrch rotačního kužele [107] => |- [108] => |V [109] => |objem rotačního kužele [110] => |} [111] => [112] => ==== Objem rotačního kužele ==== [113] => [[Soubor:Zobrazení kuželu v souřadném systému.png|náhled|Zobrazení kužele v kartézské soustavě souřadnic]] [114] => Odvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem S a poloměrem r. Výška rotačního kužele v je kolmá na rovinu podstavy a platí v= |SV|. [115] => [116] => V kartézské [[Soustava souřadnic|soustavě souřadnic]] (0,x,y) lze určit rovnici přímky p,na které leží površka s a jejíž rotací kolem osy x vznikl rotační kužel. Přímka p prochází počátkem [0,0]. Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru y = k . x , kde k je [[směrnice přímky]], pro kterou platí k = tg\ \alpha. Přímka p prochází bodem [v,r], tedy platí k = \tfrac{r}{v}. [117] => [118] => Rovnici přímky lze tedy zapsat y = \frac{r}{v} . x [119] => [120] => Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy x rotuje pouze část přímky p, tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy x je interval \langle 0, v\rangle. Potom lze spočítat objem rotačního kužele:{{Citace elektronické monografie [121] => | příjmení = Králová [122] => | jméno = Alice [123] => | titul = Odvození vzorců pro výpočet objemů a povrchů některých těles užitím integrálního počtu [124] => | url = http://user.mendelu.cz/balcarko/Mat/Telesa.pdf [125] => | další = Studijní text [126] => | vydavatel = Mendelova univerzita v Brně, Lesnická a dřevařská fakulta [127] => | datum přístupu = 24.4.2023 [128] => }} [129] => [130] => V = \pi\int_{0}^{v} \frac{r^2}{v^2}. x^2 dx= \pi\left [ \frac{r^2}{v^2}. \frac{r^3}{3} \right ]_0^v =\pi\frac{r^2}{v^2}\frac{v^3}{3}=\frac{\pi r^2v}{3} [131] => [132] => * V = \frac{\pi r^2 v}{3} = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v [133] => [134] => ==== Povrh rotačního kužele ==== [135] => Povrch rotačního kužele vznikne součtem obsahu podstavy (S_p =\pi. r^2) a obsahu pláště S_{pl} [136] => . Obsah podstavy je obsah kruhu. Odvodit stačí vzorec pro výpočet obsahu pláště, tedy S_{pl}= \pi r s [137] => . [138] => [139] => Postup: [140] => [141] => První [[derivace]] rovnice přímky p [142] => : y' = \frac{r}{v} [143] => [144] => [145] => S využitím [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]] s^2 = v^2 + r^2 [146] => lze spočítat \sqrt{1 + y'^2} = \sqrt{1 + \frac{r^2}{v^2}}= \sqrt{ \frac{v^2 + r^2}{v^2}}= \sqrt{ \frac{s^2}{v^2}}=\frac{s}{v} a dále [147] => [148] => S = 2\pi\int_{0}^{v} \frac{r}{v}. x. \frac{s}{v} dx= 2\pi\left [ \frac{r}{v}.\frac{x^2}{2}.\frac{s}{v} \right ]_0^v =2\pi.\frac{r}{v}.\frac{v^2}{2}.\frac{s}{v}=\pi rs [149] => [150] => * S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\! = \pi r^2 \,\! + \pi r s \,\! [151] => [152] => === Vlastnosti rotačního kužele === [153] => * Není [[Středová souměrnost|středově souměrný]]. [154] => * Je [[Osová souměrnost|osově souměrný]] podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy. [155] => * Je [[Rovinová souměrnost|rovinově souměrný]] podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy). [156] => [157] => * V jistém smyslu je kužel „[[limita posloupnosti|limitním případem]]“ [[posloupnost]]i pravidelných n-bokých [[jehlan]]ů pro ''n'' jdoucí do [[nekonečno|nekonečna]]. Lze porovnat vzorce pro výpočet objemu jehlanu a objemu kužele. [158] => [159] => == Kuželosečky == [160] => {{Viz též|Kuželosečka}} [161] => [162] => Z [[geometrie|geometrického]] pohledu jsou zajímavé [[rovinný řez|řezy]] rotační kuželové plochy, tj. [[průnik]]y této plochy s nějakou [[rovina|rovinou]]. [163] => [164] => '''Singulární řezy''' kužele – rovina řezu prochází vrcholem kužele (= vrcholová rovina), mohou nastat tři případy: [165] => * průnikem je '''bod''' (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou [166] => * průnikem je '''přímka''' ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou [167] => * průnikem jsou '''dvě přímky''', které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) [168] => [169] => '''Regulární řezy''' kužele – pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy: [170] => * průnikem je '''[[kružnice]]''', pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole) [171] => * průnikem je '''[[elipsa]]''', pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře) [172] => * průnikem je '''[[Parabola (matematika)|parabola]]''', pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A) [173] => * průnikem je '''[[hyperbola]]''', pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C) [174] => [175] => [[Soubor:Conic sections 2n.png|480px|Kuželosečky]] [176] => == Rovnice == [177] => Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v [[rovina|rovině]] z=c prochází [[elipsa|elipsou]] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (tzv. ''[[řídicí křivka]]'') je popsána rovnicí [178] => :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 [179] => [180] => [[Přímka|Přímky]], které tvoří povrch kužele, se nazývají ''[[tvořící přímka|tvořící přímky]]''. [181] => [182] => Tato plocha je ''[[asymptotická plocha|asymptotickou plochou]]'' (''asymptotickým kuželem'') [[hyperboloid]]ů [183] => :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1 [184] => [185] => Pro a=b jde o rotační kužel s osou rotace z. [186] => [187] => Kuželovou plochu s vrcholem v bodě [x_0,y_0,z_0] je vždy možné vyjádřit rovnicí [188] => :F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0 [189] => [190] => == Reference == [191] => [192] => [193] => == Literatura == [194] => * Karel Rektorys a kolektiv: ''Přehled užité matematiky I'', Prometheus, Praha 1995, {{ISBN|80-85849-92-5}}, str. 107-108 [195] => * Marcela Palková a kolektiv: ''Průvodce matematikou 2'', Didaktis, Brno 2007, {{ISBN|978-80-7358-083-4}}, str. 122-123 [196] => [197] => == Související články == [198] => * [[Geometrický útvar]] [199] => * [[Kvadratická plocha]] [200] => * [[Oblá tělesa]] [201] => * [[Mnohostěn]] [202] => * [[Válec]] [203] => * [[Jehlan]] [204] => * [[Komolý kužel]] [205] => * [[Elipsa]] [206] => * [[Parabola (matematika)]] [207] => * [[Hyperbola]] [208] => [209] => == Externí odkazy == [210] => * {{Commonscat}} [211] => [212] => * {{Wikislovník|heslo=kužel}} [213] => {{Autoritní data}} [214] => [215] => {{Portály|Matematika}} [216] => [217] => [[Kategorie:Oblá tělesa]] [218] => [[Kategorie:Plochy]] [] => )
good wiki

Kužel

Kužel je trojrozměrný geometrický tvar ohraničený #Kuželový prostor a kuželová plocha|kuželovou plochou a rovinou, která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku. 180x180pixelů Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'rovina','Geometrický útvar','Parabola (matematika)','Přímka','Vrchol (geometrie)','elipsa','rovinný řez','pravoúhlý trojúhelník','tvořící přímka','Ortogonalita','Mnohostěn','Množina'

Elipsa

Mnohostěn

Množina

Ortogonalita

Ortogonalita je matematický pojem, který se vztahuje k geometrii, algebře, fyzice, signálové teorii a dalším disciplínám.

Přímka

Rovina