Array ( [0] => 14671846 [id] => 14671846 [1] => cswiki [site] => cswiki [2] => Kvaternion [uri] => Kvaternion [3] => [img] => [4] => [day_avg] => [5] => [day_diff] => [6] => [day_last] => [7] => [day_prev_last] => [8] => [oai] => [9] => [is_good] => [10] => [object_type] => [11] => 0 [has_content] => 0 [12] => [oai_cs_optimisticky] => ) Array ( [0] => V [[matematika|matematice]] jsou '''kvaterniony''' (z lat. ''quaternion'', čtveřice) [[komutativita|nekomutativní]] rozšíření oboru [[komplexní číslo|komplexních čísel]]. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení. [1] => [2] => Poprvé byly kvaterniony popsány [[William Rowan Hamilton|Williamem Rowanem Hamiltonem]] v roce [[1843]] a na jeho počest se obvykle označují počátečním písmenem jeho příjmení \mathbb{H}. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly [[Komutativita|komutativní zákon]], postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (nyní jsou obvykle pohodlně vystihnuty [[Matice|maticovým počtem]], mnohdy za jistou cenu i pomocí [[vektor]]ů). [3] => [4] => == Definice == [5] => Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z [[reálné číslo|reálných čísel]] přidáním prvku ''i'' splňujícího ''i''2 = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků ''i'', ''j'' a ''k'' tak, že jsou splněny následující vztahy. [6] => [7] => :i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, [8] => [9] => Z nich plyne: [10] => [11] => :\begin{matrix} [12] => ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\ [13] => jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\ [14] => ki & = & j, & & & & ik & = & -j. [15] => \end{matrix} [16] => [17] => Každý kvaternion je [[lineární kombinace|lineární kombinací]] prvků 1, ''i'', ''j'' a ''k'', což znamená, že jej lze psát jako ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'', kde ''a'', ''b'', ''c'' a ''d'' jsou reálná čísla. [18] => [19] => === Příklad === [20] => Nechť [21] => [22] => :\begin{matrix} [23] => x & = & 3 + i \\ [24] => y & = & 5i + j - 2k [25] => \end{matrix} [26] => Pak (při [[násobení]] se využívají vztahy uvedené výše) [27] => [28] => :\begin{matrix} [29] => x + y & = & 3 + 6i + j - 2k \\ [30] => \\ [31] => xy & = & (3 + i)(5i + j - 2k)=15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik \\ [32] => & = & 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j=-5 + 15i + 5j - 5k \\ [33] => \end{matrix} [34] => [35] => == Základní vlastnosti == [36] => Množina kvaternionů se v matematice obvykle značí písmenem \mathbb{H} (podle objevitele Hamiltona), ℍ v [[Unicode]] . [37] => [38] => Kvaterniony jsou asociativní algebra s dělením nad tělesem reálných čísel. Je na nich definováno (pravé a levé) [[dělení]] a jako množina spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří [[Těleso (algebra)|těleso]]. Je nekomutativní, jeho [[Centrum grupy|centrum]] je \mathbb{R}. [39] => [40] => Pro kvaternion h=a+bi+cj+dk je definován '''sdružený kvaternion''' jako \bar{h}\equiv a-bi-cj-dk. Platí, že součin h\bar{h}=\bar{h}h=a^2+b^2+c^2+d^2 je nezáporné reálné číslo a je rovno nule pouze pro '''nulový kvaternion''' h=0. [41] => [42] => Pomocí sdruženého kvaternionu se získá [[inverzní prvek]], ke kvaternionu h je '''inverzní kvaternion''' h^{-1}=\bar{h}/(h\bar{h}) (dělení reálným číslem h\bar{h} je definováno po složkách). [43] => [44] => '''Norma''' kvaternionu h se definuje jako |h|\equiv\sqrt{h\bar{h}}. Norma je [[homomorfismus]] násobení, pro kvaterniony h,q platí |hq|=|h||q|. Z toho plyne, že množina kvaternionů normy 1 tvoří [[grupa|grupu]] (jádro homomorfismu). Tato množina je trojrozměrná [[Sféra (matematika)|sféra]] S^3 a jako [[Lieova grupa]] je izomorfní SU(2) (Jediné sféry, které jsou i Lieovy grupy, jsou S^0, S^1 a S^3). [45] => [46] => Grupa [[automorfismus|automorfizmů]] kvaternionů je izomorfní SO(3). Prvku A\in SO(3) se přiřadí automorfismus a+\mathbf{v}\mapsto a+A\mathbf{v}, kde a\in\mathbb{R}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 a a+\mathbf{v}:=a+iv^1 +jv^2 +k v^3 pro \mathbf{v}=(v^1, v^2, v^3). Podobně grupa všech automorfismů i antiautomorfismů je izomorfní grupě O(3). [47] => [48] => Algebra kvaternionů je izomorfní [[Cliffordova algebra|Cliffordově algebře]] Cliff_{0,2}. [49] => [50] => == Příklady využití == [51] => [52] => === Rotace v ℝ³ === [53] => Každý kvaternion lze zapsat ve tvaru a+\mathbf{v}, kde a\in\mathbb{R} a \mathbf{v}=v_1 i+ v_2 j + v_3 k, kde \mathbf{v} je [[vektor]] v \mathbb{R}^3. Pro libovolný ''ryze imaginární'' kvaternion \mathbf{v} a libovolný kvaternion h\neq 0 platí, že h\mathbf{v}h^{-1} je opět ryze imaginární (tedy vektor) a zobrazení \mathbf{v}\mapsto h\mathbf{v}h^{-1} je [[rotace]] v \mathbb{R}^3. Můžeme se omezit na jednotkové kvaterniony |h|=1. Pak platí: [54] => [55] => :rotace kolem osy \mathbf{o} o úhel \varphi je reprezentována kvaternionem h=\cos(\varphi/2)+\sin(\varphi/2)\mathbf{o}, kde \mathbf{o} je [[jednotkový vektor]] ve směru osy '''o''' (otáčí v kladném směru, když se díváme se směru '''o'''). [56] => [57] => Ke každé rotaci přísluší 2 jednotkové kvaterniony h a -h. To kromě jiného dokazuje, že třírozměrná sféra S^3 je 2:1 [[nakrytí]] SO(3). [58] => [59] => Zároveň je to nejjednodušší způsob, jak rotace kolem nějaké osy v \mathbb{R}^3 spočíst (třebaže není moc známý). Podstatnou výhodou je, že skládání rotací odpovídá násobení příslušných kvaternionů. V případě mnohem známější reprezentace rotací pomocí [[Eulerovy úhly|Eulerových úhlů]] je skládání rotací mnohem složitější. Navíc v případě řešení dynamických úloh rotujícího tělesa mají obvykle příslušné [[diferenciální rovnice]] v případě reprezentace pomocí kvaternionů často tvar [[Lineární rovnice|lineárních rovnic]], a jejich řešení je tak relativně snadné. [60] => [61] => === Rotace v ℝ⁴ === [62] => Kvaterniony můžeme přirozeně ztotožnit s prvky prostoru \mathbb{R}^4. Pro libovolnou dvojici jednotkových kvaternionů h,q je zobrazení v\in\mathbb{H}\mapsto h v q\in\mathbb{H} rotace v \mathbb{R}^4\simeq\mathbb{H}. Každé rotaci \mathbb{R}^4 odpovídají takto právě dvě dvojice jednotkových kvaternionů h,q a -h,-q. To objasňuje strukturu grupy SO(4): plyne z toho hned, že SO(4)\simeq (S^3\times S^3)/\mathbb{Z}_2. [63] => [64] => === Platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru === [65] => Pomocí kvaternionů lze nalézt některá [[Platónské těleso|platónská tělesa]] ve [[n-rozměrný prostor|čtyřrozměrném prostoru]]. Prvním faktem, který je potřeba si uvědomit je, že žádné [[platónské těleso]] se nezmění, pokud je pootočeno tak, že každý vrchol přejde do vrcholu jiného. Potom je potřeba si všimnout, že pokud je čtyřrozměrnému vektoru (''a'',''b'',''c'',''d'') přiřazen kvaternion a+bi+cj+dk, pak pokud je sada takových vektorů (kvaternionů) vynásobena ''jednotkovým kvaternionem'', tak se všechny tyto vektory pouze otočí. (Jsou násobené jednotkovým kvaternionem, takže se nezmění jejich velikost, jen směry, a to lineárně.) V kvaternionech existují [[uzavřená grupa|uzavřené]] [[konečná grupa|konečné]] [[grupa|grupy]] vůči [[násobení]], které mají následující členy: [66] => [67] => * všechny [[permutace]] (±1, 0, 0, 0) (8 členů) [68] => * předchozí [[grupa]] + 16 čtveřic (±½, ±½, ±½, ±½) [69] => * předchozí [[grupa]] + všechny [[sudá permutace|sudé permutace]] ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0). [70] => [71] => Pro každou z těchto grup tedy platí, že násobením jejich členů mezi sebou, vzniká opět prvek dané grupy. To ovšem znamená, že každá grupa představuje vrcholy nějakého platónského tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. To proto, že právě tehdy, když jde o platónské těleso, je splněna vlastnost, že při otočení daného tělesa tak, aby se vrchol dostal do vrcholu (čemuž právě násobení jednotkovými kvaterniony z dané grupy odpovídá), zůstane těleso stejné. [72] => [73] => == Praktické aplikace == [74] => [75] => === Robotika === [76] => Kvaterniony se často používají pro parametrizaci cílových bodů pohybových instrukcí robota společně se souřadnicemi v pravotočivém kartézském systému. Typicky jsou dostupné v ovládacím (TeachPendant) i vývojovém prostředí robotů a jsou součástí vizuální reprezentace cílových bodů. Jejich interpretace uživatelem je však složitá, často je možné je převést v UI do úhlových jednotek.{{Citace kvalifikační práce [77] => | příjmení = Prošková [78] => | jméno = Jitka [79] => | instituce = Západočeská univerzita v Plzni [80] => | místo = Plzeň [81] => | titul = Aplikace duálních kvaternionů na vybrané problémy [82] => | url = http://hdl.handle.net/11025/28563 [83] => | typ_práce = disertační práce [84] => | vedoucí = Miroslav Lávička [85] => | rok = 2017 [86] => | citace = 2021-12-16 [87] => }} [88] => [89] => == Související články == [90] => * [[komplexní číslo]] [91] => * [[hyperkomplexní číslo]] [92] => * [[oktonion]] [93] => [94] => == Externí odkazy == [95] => * {{Commonscat}} [96] => [97] => == Reference == [98] => [99] => [100] => {{Autoritní data}} [101] => [102] => [[Kategorie:Hyperkomplexní čísla]] [103] => [[Kategorie:Lineární algebra]] [] => )
good wiki

Kvaternion

V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel.

More about us

About

Expert Team

Vivamus eget neque lacus. Pellentesque egauris ex.

Award winning agency

Lorem ipsum, dolor sit amet consectetur elitorceat .

10 Year Exp.

Pellen tesque eget, mauris lorem iupsum neque lacus.

You might be interested in

,'grupa','násobení','vektor','komplexní číslo','Platónské těleso','hyperkomplexní číslo','permutace','matematika','rotace','konečná grupa','Unicode','reálné číslo'

Grupa

Matematika

Násobení

Permutace

Rotace

Unicode

Vektor