Afinní konexe

Afinní konexe je geometrický objekt na hladké varietě, který spojuje okolní tečné prostory. Pojem afinní konexe má své kořeny v geometrii 19. století a tenzorových počtech, ale nebyl plně rozvinutý až do roku 1920, kdy jej popsali Élie Cartan (jako součást jeho obecné teorie konexí) a Hermann Weyl (který používal tento pojem, jako součást jeho základů pro obecnou teorii relativity).

Definice

Nechť M je hladká varieta a C∞(M,TM) je prostor vektorových polí na M, která je prostorem hladké sekce tečného bandlu TM. Potom afinní konexe na M je a bilineární zobrazení: : \begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y, \end{matrix} taková, že pro všechny hladké funkce f v C∞(M,R) a všechna vektorová pole X, Y na M:

# \nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y, to znamená, že \nabla je C∞(M,R)-lineární v první proměnné; # \nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY, to znamená, že \nabla splňuje Leibnizovo pravidlo ve druhé proměnné.

Kategorie:Geometrie Kategorie:Riemannova geometrie