Darbouxův vzorec

Technology

12 hours ago

Author

Darbouxův vzorec je v matematické analýze vzorec, který objevil Jean Gaston Darboux pro sumaci nekonečné řady pomocí integrálů nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečné řady. Je zobecněním Eulerova-Maclaurinova sumačního vzorce na komplexní rovinu. Ten se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakovanou integrací per partes určité volby integrálu). Darbouxův vzorec lze použít pro odvození Taylorovy řady v infinitezimálním počtu.

Tvrzení

Pokud φ(t) je polynom stupně n, a f analytická funkce, pak

: \begin{align} & \sum_{m=0}^n (-1)^m (z - a)^m \left[\varphi^{(n - m)}(1)f^{(m)}(z) - \varphi^{(n - m)}(0)f^{(m)}(a)\right] \\ = {} & (-1)^n(z - a)^{n + 1}\int_0^1\varphi(t)f^{(n+1)}\left[a + t(z - a)\right]\, dt. \end{align}

Vzorec lze dokázat opakovanou integrací per partes.

Speciální případy

Pokud se jako φ v Darbouxově vzorci použije Bernoulliho polynom, vznikne Eulerův-Maclaurinův sumační vzorec. Jestliže se jako φ použije (t − 1)n, vyjde vzorec pro Taylorovu řadu.