Bernoulliho polynom

Bernoulliho polynomy je v matematice posloupnost polynomů pojmenovaných po Jacobu Bernoullim, které kombinují Bernoulliho čísla a binomické koeficienty. Používají se pro rozvoj funkcí na řady a s Eulerovým-Maclaurinovým vzorcem.

Bernoulliho polynomy se objevují při studiu mnoha speciálních funkcí, např. Riemannovy funkce zeta a Hurwitzovy funkce zeta. +more Tvoří Appellovu posloupnost (tj. Shefferovu posloupnost pro operátor obyčejné derivace). U Bernoulliho polynomů počet průsečíků s osou x v jednotkovém intervalu neroste se stupněm polynomu. V limitě se blíží funkcím sinus a kosinus (jsou-li vhodným způsobem zvětšeny). Bernoulliho polynomy.

Podobnou množinou polynomů založených na vytvořující funkci, je rodina Eulerových polynomů.

Reprezentace

Bernoulliho polynomy Bn lze definovat mnoha různými způsoby, jedním z nich je použitím vytvořující funkce.

Vytvořující funkce

Vytvořující funkce pro Bernoulliho polynomy je

:\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Vytvořující funkce pro Eulerovy polynomy je :\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Explicitní vzorec

:B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_{n-k} x^k,

:E_m(x)= \sum_{k=0}^m {m \choose k} \frac{E_k}{2^k} \left(x-\frac{1}{2}\right)^{m-k} \,.

pro n ≥ 0, kde Bk jsou Bernoulliho čísla, a Ek jsou Eulerova čísla.

Reprezentace diferenciálním operátorem

Bernoulliho polynomy lze také vyjádřit vztahem

:B_n(x)={D \over e^D -1} x^n

kde D = d/dx je operátor derivace podle x a výraz pod zlomkovou čarou je vyjádřen jako rozvoj formální mocninné řady. Odtud plyne, že :\int _a^x B_n (u) ~du = \frac{B_{n+1}(x) - B_{n+1}(a)}{n+1} ~. +more srovnejte s # Integrály|integrály níže. Stejným způsbem lze zapsat Eulerovy polynomy:.

: E_n(x) = \frac{2}{e^D + 1} x^n.

Reprezentace integrálním operátorem

Bernoulliho polynomy jsou také jednoznačné polynomy určené vztahem

:\int_x^{x+1} B_n(u)\,du = x^n.

Integrální transformace

:(Tf)(x) = \int_x^{x+1} f(u)\,du

na polynomy f dává : \begin{align} (Tf)(x) = {e^D - 1 \over D}f(x) & {} = \sum_{n=0}^\infty {D^n \over (n+1). }f(x) \\ & {} = f(x) + {f'(x) \over 2} + {f(x) \over 6} + {f'(x) \over 24} + \cdots ~. +more \end{align}.

což lze použít pro získání #Inverze|inverzního vzorce uvedeného níže.

Jiný explicitní vzorec

Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je

:B_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m.

Což je řada podobná Hurwitzově funkci zeta v komplexní rovině. Skutečně existuje vztah

:B_n(x) = -n \zeta(1-n,x)

kde ζ(s, q) je Hurwitzova funkce zeta. Ta zobecňuje Bernoulliho polynomy na jiné než celé hodnoty n.

Vnitřní součet může být chápán jako n-tá dopředná diference výrazu xm, čili

:\Delta^n x^m = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (x+k)^m

kde Δ je dopředný diferenční operátor. Je tedy možné psát

:B_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{(-1)^n}{n+1} \,\Delta^n x^m.

Tento vzorec může být odvozen z identity uvedené výše: Protože pro dopředný diferenční operátor Δ platí

:\Delta = e^D - 1

kde D je derivace podle x, z Mercatorovy řady vyplývá:

:{D \over e^D - 1} = {\log(\Delta + 1) \over \Delta} = \sum_{n=0}^\infty {(-\Delta)^n \over n+1}.

Pokud je aplikována na polynom m-tého stupně, jako např. xm, můžeme nechat n jít od 0 pouze do m.

Integrální reprezentaci Bernoulliho polynomů popisuje Nörlundův-Riceův integrál, což vyplývá z vyjádření pomocí konečného rozdílu.

Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy popisuje vztah

:E_m(x)= \sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m\,.

Výše uvedený vzorec lze odvodit obdobně, pomocí faktu, že

: \frac{2}{e^D + 1} = \frac{1}{1 + \Delta/2} = \sum_{n = 0}^\infty \Bigl(-\frac{\Delta}{2}\Bigr)^n.

Součty p-tých mocnin

Užitím výše uvedené #Reprezentace integrálním operátorem|integrální reprezentace x^n nebo #Difference a derivace|identity B_n(x + 1) - B_n(x) = nx^{n-1} dostáváme

:\sum_{k=0}^x k^p = \int_0^{x+1} B_p(t) \, dt = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}

(pokud předpokládáme, že 00 = 1).

Bernoulliho a Eulerova čísla

Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 0: \textstyle B_n=B_n(0).

Tato definice dává \textstyle \zeta(-n) = \frac{(-1)^n}{n+1}B_{n+1} pro \textstyle n=0, 1, 2, \ldots.

Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 1: \textstyle B_n=B_n(1).

Tyto dvě konvence se liší pouze pro n=1, protože B_1(1)= \tfrac{1}{2} = -B_1(0).

Eulerova čísla jsou dána vztahem E_n=2^nE_n(\tfrac{1}{2}).

Explicitní výrazy pro nízký stupňů

Několik prvních Bernoulliho polynomů je:

: \begin{align} B_0(x) & =1 \\[8pt] B_1(x) & =x-\frac{1}{2} \\[8pt] B_2(x) & =x^2-x+\frac{1}{6} \\[8pt] B_3(x) & =x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x \\[8pt] B_4(x) & =x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30} \\[8pt] B_5(x) & =x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x \\[8pt] B_6(x) & =x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}. \end{align}

Několik prvních Eulerových polynomů je:

: \begin{align} E_0(x) & =1 \\[8pt] E_1(x) & =x-\frac{1}{2} \\[8pt] E_2(x) & =x^2-x \\[8pt] E_3(x) & =x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4} \\[8pt] E_4(x) & =x^4-2x^3+x \\[8pt] E_5(x) & =x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2} \\[8pt] E_6(x) & =x^6-3x^5+5x^3-3x. \end{align}

Maxima a minima

Pro vyšší n se množství změn v Bn(x) mezi x = 0 a x = 1 zvětšuje. Například

:B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-\frac{182}{3}x^{12}+\frac{572}{3}x^{10}-429x^8+\frac{1820}{3}x^6 -\frac{1382}{3}x^4+140x^2-\frac{3617}{510}

což ukazuje, že hodnota v x = 0 (a v x = 1) je −3617/510 ≈ −7. 09, zatímco pro x = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7. +more09. D. H. Lehmer ukázal, že pro maximální hodnotu Bn(x) mezi 0 a 1 platí.

:M_n

pokud n není 2 modulo 4, kdy je

:M_n = \frac{2\zeta(n)n!}{(2\pi)^n}

(kde \zeta(x) je Riemannova funkce zeta). Pro minimální hodnotu platí

:m_n > \frac{-2n!}{(2\pi)^n}

pokud n není 0 modulo 4, kdy je

:m_n = \frac{-2\zeta(n)n!}{(2\pi)^n}.

Tyto meze jsou docela blízko skutečným maximům a minimům. Lehmer udává i přesnější meze.

Diference a derivace

Bernoulliho a Eulerovy polynomy vyhovují mnoha vztahům z umbralního počtu:

:\Delta B_n(x) = B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1},

:\Delta E_n(x) = E_n(x+1)-E_n(x)=2(x^n-E_n(x)).

(Δ je dopředný diferenční operátor). Také,

: E_n(x+1) + E_n(x) = 2x^n.

Tyto posloupnosti polynomů jsou Appellovými posloupnostmi:

:B_n'(x)=nB_{n-1}(x),

:E_n'(x)=nE_{n-1}(x).

Převody

:B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}

:E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}

Tyto identity jsou také ekvivalentní s tvrzením, že obě posloupnosti polynomů jsou Appellovou posloupností. (Jiným příkladem jsou Hermitovy polynomy. +more).

Symetrie

:B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),\quad n \ge 0,

:E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)

:(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}

:(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n

:B_n\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2^{n-1}}-1\right) B_n, \quad n \geq 0\text{ z multiplikačních vět níže.}

Zhi-Wei Sun a Hao Pan ukázali překvapivý vztah symetrie: Pokud a , pak

:r[s,t;x,y]_n+s[t,r;y,z]_n+t[r,s;z,x]_n=0,

kde

:[s,t;x,y]_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{s \choose k}{t\choose {n-k}} B_{n-k}(x)B_k(y).

Fourierova řada

Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také Dirichletova řada, vzhledem k rozvoji

:B_n(x) = -\frac{n. }{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}= -2 n. +more \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n}. Všimněte si, že pro velké n tento výraz konverguje ke vhodně škalovaným trigonometrickým funkcím.

To je speciální případ analogického tvaru Hurwitzovy funkce zeta

:B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty \frac{ \exp (2\pi ikx) + e^{i\pi n} \exp (2\pi ik(1-x)) } { (2\pi ik)^n }.

Tento rozvoj je platný pouze pro 0 ≤ x ≤ 1, když n ≥ 2 a je pro 0 C_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac {\cos((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}

a

:S_\nu(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac {\sin((2k+1)\pi x)} {(2k+1)^\nu}

pro \nu > 1, pak Eulerův polynom má Fourierovu řadu

:C_{2n}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n-1)!} \pi^{2n} E_{2n-1} (x)

a

:S_{2n+1}(x) = \frac{(-1)^n}{4(2n)!} \pi^{2n+1} E_{2n} (x).

Všimněte si, že C_\nu je lichá a S_\nu sudá:

:C_\nu(x) = -C_\nu(1-x)

a

:S_\nu(x) = S_\nu(1-x).

Jsou příbuzné s Legendrovou funkcí chí \chi_\nu jako

:C_\nu(x) = \operatorname{Re} \chi_\nu (e^{ix})

a

:S_\nu(x) = \operatorname{Im} \chi_\nu (e^{ix}).

Inverze

Bernoulliho a Eulerovy polynomy je možné invertovat pro vyjádření monomů pomocí polynomů.

Konkrétně z výše uvedené části o #Reprezentace integrálním operátorem|integrálních operátorech zjevně plyne, že :x^n = \frac {1}{n+1} \sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)

a

:x^n = E_n (x) + \frac {1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} E_k (x).

Vztah s klesajícím faktoriálem

Bernoulliho polynomy je možné vyjádřit rozvojem na členy klesajícího faktoriálu (x)_k jako

:B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} (x)_{k+1} kde B_n=B_n(0) a

:\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = S(n,k)

označuje Stirlingovo číslo druhého druhu. Výše uvedený vztah může být invertován, aby se klesající faktoriál vyjadřil pomocí Bernoulliho polynomů:

:(x)_{n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right)

kde :\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] = s(n,k)

označuje Stirlingovo číslo prvního druhu.

Věty o násobení

Věty násobení objevil Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

Pro přirozené číslo ,

:B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)

:E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=1,3,\dots

:E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=2,4,\dots

Integrály

Dva určité integrály, které ukazují vztah Bernoulliho a Eulerových polynomů k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou: * \int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m. \; n. +more}{(m+n). } B_{n+m} \quad \text{for } m,n \geq 1 * \int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m. \;n. }{(m+n+2). } B_{n+m+2}.

Další integrální vzorec je

* \int_0^{1}E_{n}\left( x +y\right)\log(\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}x)\,dx= n. \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac {n+1}2\right\rfloor} \frac{(-1)^{k-1}}{ \pi^{2k}} \left( 2-2^{-2k} \right)\zeta(2k+1) \frac{y^ {n+1-2k}}{(n +1- 2k). +more}.

se speciálním případem pro y=0 * \int_0^{1}E_{2n-1}\left( x \right)\log(\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}x)\,dx= \frac{(-1)^{n-1}(2n-1). }{\pi^{2n}}\left( 2-2^{-2n} \right)\zeta(2n+1) * \int_0^{1}B_{2n-1}\left( x \right)\log(\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}x)\,dx= \frac{(-1)^{n-1}}{\pi^{2n}}\frac{2^{2n-2}}{(2n-1). +more}\sum_{k=1}^{n}( 2^{2k+1}-1 )\zeta(2k+1)\zeta(2n-2k) * \int_0^{1}E_{2n}\left( x \right)\log(\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}x)\,dx=\int_0^{1}B_{2n}\left( x \right)\log(\operatorname{tg} \frac{\pi}{2}x)\,dx=0 * \int_{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left( x \right)\operatorname{cotg} \left( \pi x \right)dx}=\frac{2\left( 2n-1 \right). }{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{\left( 2\pi \right)}^{2n-1}}}\zeta \left( 2n-1 \right).

Periodické Bernoulliho polynomy

Periodický Bernoulliho polynom je Bernoulliho polynom vyčíslený v desetinné části argumentu . Tyto funkce se objevují jako zbytkový člen v Eulerově-Maclaurinově vzorci, který vyjadřuje vztah mezi sumami a integrály. +more První polynom je pilovitá funkce.

Tyto funkce ve skutečnosti nejsou polynomy a správně by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce, přičemž dokonce ani není funkce, je to derivace pilovité funkce, která tvoří Diracův hřeben.

Zajímavé jsou následující vlastnosti, platné pro všechna x :

: \begin{align} &P_k(x) \text{ je spojitá pro všechna } k > 1 \\[5pt] &P_k'(x) \text{ existuje a je spojitá pro } k > 2 \\[5pt] &P'_k(x) = kP_{k-1}(x), k > 2 \end{align}

Odkazy

Reference

Literatura

(Recenze vztahu k Hurwitzově funkci zeta a Lerchově transcendentu.)

Související články

Bernoulliho číslo * Bernoulliho polynomy druhého druhu * Stirlingův polynom * Polynomiální výpočet součtu mocnin v aritmetice progresí

Externí odkazy

[url=https://dlmf. nist. +moregov/24. 7]Seznam integrálních identit obsahující Bernoulliho polynomy[/url] - Národní institut standardů a technologie.

Kategorie:Speciální funkce Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Polynomy Polynom, Eulerův