Fourierova řada

Ortogonální rozklad funkce

Mějme lineární podprostor \rho dimenze n Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi E:

\rho \subset H \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,dim H = \infty \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\dim\rho = n \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, f \in H \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,f_{n} \in \rho \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, n = 1,2,3,\cdots \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,E = e_1,e_2,e_3,\cdots

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí f a f_{n} platí:

\left | f - f_{n} \right|^{2} = \left( f - f_{n} \right) \cdot \left( f - f_{n} \right) = f \cdot f - 2f \cdot f_{n} + f_{n} \cdot f_{n} = f \cdot f - 2f \cdot \sum_{i}^{}{s_{i}e_{i}} + \sum_{i}^{}s_{i}^{2} =

= f \cdot f + \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} - 2\sum_{i}^{}{s_{i}\left( f \cdot e_{i} \right)} + \sum_{i}^{}s_{i}^{2} - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} = f \cdot f + \sum_{i}^{}\left( \left( f \cdot e_{i} \right) - s_{i} \right)^{2} - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde i = 1,\cdots,n

a

s_{i} = f \cdot e_{i} \Rightarrow \left| f - f_{n} \right|^{2} = f \cdot f - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} = \left| f \right|^{2} - \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow \left| f \right|^{2} \geq \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow f \sim f_{n} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde s_1,\cdots,s_n jsou souřadnice f_{n} vzhledem k E,

pak můžeme aproximovat funkci f následující řadou:

\lim_{n \rightarrow \infty}\left| f - f_{n} \right|^{2} = 0 \Rightarrow \left| f \right|^{2} \approx \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow f \approx f_{n} = \sum_{i}^{}{\left( f \cdot e_{i} \right)\ e_{i}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde i = 1,\cdots,n

Fourierova řada v goniometrickém tvaru

Množina \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}\omega t,{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}\omega t,{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}{2\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}{2\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}{3\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}{3\omega t},\cdots \right\} tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci f můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

:f\left( t \right) \approx \sum_{0}^{\infty}{a_{n}\cos n\omega t + b_{n}\sin n\omega t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n \mathbb{\in N}

kde a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \cos n\omega t \, \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \sin n\omega t \, \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a kde n = 1,2,3,\cdots.

Koeficient b_{0} nemá smysl uvažovat, neboť b_{0} \sin 0 = 0.

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí f a její Fourierovou řadou rovnítko. +more Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce f ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad

Exponenciála +morepng|náhled'>Sudá a lichá funkce Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou T=2 na intervalu a úhlovou frekvencí \omega=\pi, pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:.

sudá funkce:

a_{0} = \frac{1}{2} (\int_{-1}^{0} {e^{-t} \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \,dt}) = e-1

a_{n} = \int_{-1}^{0} {e^{-t} \cos n\pi t \, \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \cos n\pi t \, \,dt} = 2 \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1}

b_{n} = 0

kde n = 1,2,3,\cdots

:f\left( t \right) \approx (e-1) + 2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1} \cos n\pi t}

lichá funkce:

a_{0} = 0

a_{n} = 0

b_{n} = - \int_{-1}^{0} {e^{-t} \sin n\pi t \, \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \sin n\pi t \, \,dt} = -2n\pi \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1}

kde n = 1,2,3,\cdots

:f\left( t \right) \approx -2\sum_{n=1}^{\infty}{n\pi \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1} \sin n\pi t}

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru

Z následujících vztahů:

e^{in\omega t} + e^{-in\omega t} = \left(\cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) + \left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) = 2\cos n\omega t

e^{in\omega t} - e^{-in\omega t} = \left(\cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) - \left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) = i2\sin n\omega t

a

a_{n}\cos n\omega t + b_{n}\sin n\omega t = \frac{a_{n}}{2}\left(e^{in\omega t} + e^{-in\omega t} \right) - i\frac{b_{n}}{2}\left(e^{in\omega t} - e^{-in\omega t} \right) =

= \frac{1}{2}\left(a_{n} - ib_{n} \right)e^{in\omega t} + \frac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)e^{-in\omega t} = \left({c_{n}e}^{in\omega t} + {\overline{c}}_{n}e^{-in\omega t} \right)

dostaneme:

2c_{n} = \left(a_{n} - ib_{n} \right) = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) dt} \Rightarrow c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\ e^{-in\omega t} dt}

2{\overline{c}}_{n} = \left(a_{n} + ib_{n} \right) = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\left( \cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) dt} \Rightarrow {\overline{c}}_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\ e^{-in\omega t} dt},

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce f pomocí následující exponenciální řady:

:f\left(t \right) \approx \sum_{-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\omega t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n \mathbb{\in Z} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde a_{0} = c_{0} = \overline{f} je střední hodnota funkce f.

Fourierova transformace

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě: :T\omega = 2\pi \Rightarrow \left(T \rightarrow \infty \Rightarrow \omega \rightarrow 0 \right) \Rightarrow n \omega \equiv \omega \equiv d\omega

lze zavést spojitou Fourierovu transformaci užitím limitních přechodů: :\lim_{T \rightarrow \infty}{Tc_{n}} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left(t \right)e^{-in\omega t}dt}} = \int_{-\infty}^{\infty}{f\left(t \right)\ e^{-i\omega t}dt} = F\left(\omega \right)

a naopak

:f\left(t \right) = \lim_{T \rightarrow \infty}{\sum_{-\infty}^{\infty}{T\frac{\omega}{2\pi}c_{n}e^{in\omega t}}} = \frac{1}{2\pi}\sum_{-\infty}^{\infty}{\lim_{T \rightarrow \infty}{Tc_{n}e^{in\omega t}\omega}} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F\left(\omega \right)\ e^{in\omega t}\text{dω}}

Odkazy

Literatura

Související články

Fourierova transformace * Rychlá Fourierova transformace

Externí odkazy

[url=https://tomasboril.cz/fourierseries3d/cz/]Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad[/url] HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.

Kategorie:Matematická analýza