Cesko.wiki Eisensteinovo kritérium
Author
Albert FloresEisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.
Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.
Moderní formulace kritéria
Celočíselné polynomy
Nechť je f(x) mnohočlen stupně n s koeficienty z oboru celých čísel, tedy f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0, a nechť existuje prvočíslo p takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy: * p \mid a_i pro všechna i , * p^2 \nmid a_0 a * p \nmid a_n, pak je mnohočlen f(x) ireducibilní v oboru \mathbb{Q}[x], tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.
Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.
Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty
Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}, kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel NSD(b_i,c_i) je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo p takové, že * p dělí b_k pro k\le n, * p nedělí b_n a c_n a * p^2 nedělí b_0. +more Pak je f(x) nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.
Zobecnění pro gaussovské obory
Nechť je R Gaussův obor integrity a f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu R[x]. Pak pokud je f(x) primitivní a existuje ireducibilní prvek p\in R splňující * p \mid a_i pro všechna i, * p^2 \nmid a_0 a pak je polynom f(x) v R[x] ireducibilní.
Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů
Nechť je R obor integrity a f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu R[x]. Pokud existuje v oboru R prvoideál P takový, že * a_i \in P pro všechna i , * a_n\notin P a * a_0 \notin P^2 (P^2 je součin ideálu P s ním samým), pak nelze zapsat f(x) jako součin dvou nekonstantních polynomů v R[x]. +more Je-li navíc f(x) primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v R[x]. Pokud je R Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je T, pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z R jsou v T jednotkami).