Eulerova rovnice

Technology

12 hours ago

Author

Eulerova rovnice je obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu tvaru :x^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)} + a_{n-2}x^{n-2}y^{(n-2)}+ ... + a_2 x^2 y^{\prime\prime} + a_1 x y^\prime + a_0 y = 0, kde a_0, a_1, ..., a_{n-1} jsou konstanty.

Eulerova diferenciální rovnice je speciálním případem rovnice s proměnnými koeficienty, kterou lze substitucí x = \mathrm{e}^t převést na lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty řešitelnou explicitně. Alternativně lze zkoušet řešení tvaru y = x^m.

Rovnice druhého řádu

Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro případ dvou reálných kořenů +morepng|náhled|320px|vpravo'>Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro dvojnásobný kořen Typické křivky řešení pro Eulerovu rovnici druhého řádu pro vícenásobné kořeny Nejobvyklejší Eulerovou rovnicí je rovnice druhého řádu, která se objevuje v několika aplikacích ve fyzice a strojírenství, například při řešení Laplaceovy rovnice v polární souřadnicích. Je dána rovnice:.

:x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + ax\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + by = 0. \,

Řešení pomocí zkušebních řešení

Zkoušíme řešení tvaru

:y = x^m. \,

Zderivováním dostaneme:

:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = mx^{m-1} \,

:\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = m(m-1)x^{m-2}. \,

Dosadíme do původní rovnice:

:x^2( m(m-1)x^{m-2} ) + ax( mx^{m-1} ) + b( x^m ) = 0 \,

A upravíme na:

:m^2 + (a-1)m + b = 0. \,

Tuto rovnici řešíme pro proměnnou m. Existují tři odlišné zajímavé případy:

* Případ 1: Dva různé reálné kořeny m1 a m2 * Případ 2: Jeden reálný vícenásobný kořen m * Případ 3: Komplexní kořeny α ± βi

V případě 1 má Eulerova rovnice řešení :y = c_1 x^{m_{1}} + c_2 x^{m_2} \,

V případě 2 má Eulerova rovnice řešení

:y = c_1 x^m \ln(x) + c_2 x^m \,

Pro získání tohoto řešení je nutné po nalezení jednoho řešení y = xm použít metodu redukce řádu.

V případě 3 má Eulerova rovnice řešení

:y = c_1 x^\alpha \cos(\beta \ln(x)) + c_2 x^\alpha \sin(\beta \ln(x)) \,

:\alpha = \mathop{\rm Re}(m)\, :\beta = \mathop{\rm Im}(m)\,

Pro c_1\, a c_2\, v reálné rovině

Tento tvar řešení odvodíme položením x = et a použitím Eulerova vzorce.

Řešení pomocí substituce

V rovnici

:x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + ax\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + by = 0 \,

provedeme substituci proměnné definovanou vztahem

:t = \ln(x). \, :y(x) = \phi(\ln(x)) = \phi(t). \, Po zderivování: :\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}

:\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{x^2}\bigg(\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}t^2}-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\bigg).

Substituce \phi(t) dává :\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}t^2} + (a-1)\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} + b\phi = 0. \,

Tato rovnice pro \phi(t) může být snadno vyřešena pomocí svého charakteristického polynomu :\lambda^2 + (a-1)\lambda +b = 0.

Nyní jestliže \lambda_1 a \lambda_2 jsou kořeny tohoto polynomu, rozlišujeme dva hlavní případy: různé kořeny a dvojité kořeny:

Jestliže má rovnice různé kořeny, obecné řešení je dáno vztahem

:\phi(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}, kde exponenciální funkce mohou být komplexní.

Jestliže kořeny jsou si rovné, obecné řešení je dáno vztahem

:\phi(t)=c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 t e^{\lambda_1 t}.

V obou případech lze řešení y(x) nalézt tak, že položíme t=\ln(x), tedy \phi(\ln(x)) = y(x).

To dává v prvním případě :y(x)=c_1 x^{\lambda_1} + c_2 x^{\lambda_2},

ve druhém případě :y(x)=c_1 x^{\lambda_1} + c_2 \ln(x) x^{\lambda_1}.

Příklad

Řešíme rovnici

: x^2u-3xu'+3u=0\,

nahradíme jednoduché řešení xα:

: x^2(\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2})-3x(\alpha x^{\alpha-1})+3x^\alpha=\alpha(\alpha-1)x^\alpha-3\alpha x^\alpha+3x^\alpha = (\alpha^2-4\alpha+3)x^\alpha = 0\,.

Aby xα bylo řešení, platí buď x = 0, což dává triviální řešení, anebo koeficient u xα je nula. Řešením kvadratické rovnice dostaneme α = 1, 3. +more Obecné řešení je proto.

: u=c_1 x+c_2 x^3\,.

Obdoba v diferenčních rovnicích

Eulerovy rovnice má obdobu v diferenčních rovnicích. Pro pevné m > 0, definujeme posloupnost ƒm(n) jako

: f_m(n) := n(n+1)\cdots (n+m-1) = \frac{(n+m-1)!}{(n-1)!}

Použitím diferenčního operátoru na f_m dostaneme, že

: \begin{align} Df_m(n) & = f_{m}(n+1) - f_m(n) \\ & = m(n+1)(n+2) \cdots (n+m-1) = \frac{m}{n} f_m(n). \end{align}

Jestliže tento postup opakujeme k-krát, dostaneme

: \begin{align} f_m^{(k)}(n) & = \frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{n(n+1)\cdots(n+k-1)} f_m(n) \\ & = m(m-1)\cdots(m-k+1) \frac{f_m(n)}{f_k(n)}, \end{align}

kde horní index (k) znamená k-násobné použití diferenčního operátoru. Srovnání tohoto s faktem, že k-tá derivace xm se rovná

: m(m-1)\cdots(m-k+1)\frac{x^m}{x^k}

nabízí možnost řešit diferenční rovnice N-tého řádu

: f_N(n) y^{(N)}(n) + a_{N-1} f_{N-1}(n) y^{(N-1)}(n) + \cdots + a_0 y(n) = 0,

podobným způsobem jako diferenciální rovnice. Skutečně substituce zkušebního řešení

: y(n) = f_m(n) \,

dává stejný výsledek jako diferenciální rovnice

: m(m-1)\cdots(m-N+1) + a_{N-1} m(m-1) \cdots (m-N+2) + \cdots + a_1 m + a_0 = 0.

Nyní můžeme pokračovat jako v případě diferenciální rovnice, protože obecné řešení lineární diferenční rovnice N-tého řádu je také lineární kombinací N lineárně nezávislých řešení. Použitím redukce řádu v případě více kořenů m1 dostaneme výrazy obsahující diskrétní verzi funkce ln,

: \varphi(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k - m_1}.

(Srovnejte s: \ln (x - m_1) = \int_{1+m_1}^x \frac{1}{t - m_1} \, \mathrm{d}t.)

Pokud se vyskytnou zlomky, lze místo výše uvedeného použít funkci gama:

: f_m(n) := \frac{\Gamma(n+m)}{\Gamma(n)}

což se shoduje s výše uvedenou definicí pro celočíselné m.