Cesko.wiki Eulerova rovnost
Author
Albert FloresEulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (e^{i\pi}+1=0) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).
Znění
Eulerova rovnost je vzorec e^{i\pi}+1=0, kde * e je Eulerovo číslo * i je imaginární jednotka * π je Ludolfovo číslo
Elegantnost vyjádření
Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
Odvození
Eulerův vzorec pro libovolný úhel. +more Eulerova rovnost je speciálním případem Eulerova vzorce, který říká.
: e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!
pro každé reálné číslo x. Speciálně pro
: x = \pi,\,\!
dostaneme
: e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!
Protože
:\cos \pi = -1 \, \!
a
:\sin \pi = 0,\,\!
vyplývá odtud
: e^{i \pi} = -1\,\!
a převedením na druhou stranu
: e^{i \pi} +1 = 0.\,\!
Zobecnění
Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1: :\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 . Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.