Faktoriál

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné, a rovno 1 pro n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriál n je roven počtu permutací n-prvkové množiny

Definice

Faktoriál je formálně definován takto: :n! = 1 \cdot 2 \cdot \, \dotsb \, \cdot n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n > 0

Například: :5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Pro případ prázdného součinu platí, že :0! = 1

Rekurzivní výpočet

Je možné faktoriál definovat rekurzivně takto:

: (n+1)! = (n+1) \cdot n! \

Zobecnění pro komplexní čísla

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice: :z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro \operatorname{Re}\, z > -1, lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná: :1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. +more počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo: :{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

:n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n. , ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. +more Je možno ho rekurzivně definovat jako :n. = \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2). &&\mbox{pro }n\ge2. \qquad\qquad \end{matrix} \right.

Například 8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384, nebo 9!! = 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 945.

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná: :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např. :\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).

Výpočet v informatice

Rekurzivní definice je často užívána i v programování, protože vede na jednoduchý zápis algoritmu využívající rekurzivní volání funkce. Takový výpočet však je z hlediska náročnosti na systémové prostředky (velikost zásobníku) velmi nevhodný (takový počítačový program lze použít jen pro malá čísla, protože obvykle dojde paměť pro zásobník). +more Proto je vhodnější místo rekurze použít cyklus.

Odkazy

Reference

Související články

Taylorova řada

Externí odkazy

[url=http://mathworld. wolfram. +morecom/Factorial. html]Faktoriál v encyklopedii MathWorld[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/new/calculations/faktorial. php]Online výpočet faktoriálu[/url] až 40000. na všechna platná místa.

Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Kombinatorika Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Unární operátory