Cesko.wiki Stirlingův vzorec
Author
Albert FloresGraf Stirlingova vzorce Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.
Stirlingův vzorec zní:
n!= \Gamma (n+1) \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n
Symbolu „přibližně“ je nutno rozumět tak, že asymptoticky platí:
\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n} = 1
S rostoucím n tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.
Představu o přesnosti tohoto vztahu si lze udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. +more Z tabulky je patrné, že již pro n=1 je odchylka docela malá. Pro n=0 nemá Stirlingův vzorec smysl (není-li speciálně definována nula na nultou).
| 1 | 7,7863 % |
|---|---|
| 2 | 4,0497 % |
| 5 | 1,6509 % |
| 10 | 0,8295 % |
| 20 | 0,4 % |
| 40 | 0,2 % |
| 60 | 0,1 % |
Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.
Odvození
Nejlépe lze Stirlingův vzorec odvodit z definice funkce gama, platí totiž:
n!=\Gamma (n+1) = \int_0^{\infty} x^n e^{-x} \, \mathrm{d}x=\int_0^{\infty} \exp (-x + n \ln x) \, \mathrm{d}x
Argument v exponenciále nabývá maxima pro x=n, bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna -\frac{1}{n}.
Dostáváme tedy:
n! \approx \int_0^{\infty} \exp \left( n \ln n - n - \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right) \, \mathrm{d}x
Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.
Další úpravou výrazu dostaneme:
n! \approx \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{0}^{\infty} \exp \left(- \frac{1}{2n} (x-n)^2 \right)\, \mathrm{d}x = \sqrt{2n} \left(\frac{n}{e} \right)^n \int_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}^{\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x
Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je n velké). Pak je poslední integrál Gaussův integrál a je roven \sqrt{\pi}. +more Po dosazení tedy konečně vychází:.
n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n
Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.
Za hranice klasického Stirlingova vzorce
Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.
Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:
: n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right).
Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká n rovna \frac{1}{12n}. Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.
Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné n se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká n.
