Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

:a_{n+1} =a_n \cdot q

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

:a_2=a_1\cdot q, \quad a_3 = a_1\cdot q^2, \quad \ldots, \quad a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

:a_n=a_1 \cdot q^{n-1}.

Příklad

Například je-li a_1 = 2, q = 3, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro a_1 = 1, q = -1 se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Kvocient

Pro kvocient q a libovolné členy posloupnosti a_r a a_s platí:

:\frac{a_r}{a_s}=q^{r-s}

Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1): :s_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1} = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

:s_n = n \cdot a_1

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro q \to 1.

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu (a_1 = 2, q = 3) je:

:s_5 = 2 \cdot \frac{3^5-1}{3-1} = 242

Odvození vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1}.

Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne s_nq = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots + a_1q^n.

Odečtením první rovnice od druhé vyjde s_n q - s_n = a_1 q^n - a_1.

Takže (je-li q různé od 1) platí

s_n = a_1 \frac{q^n - 1}{ q - 1}.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

s_n = n a_1.

Jiný způsob odvození vzorce

Součet prvních n členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

:s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n,

kde členy a_2 \ldots a_n lze vyjádřit pomocí a_1:

:s_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1},

přičemž ze součtu lze vytknout a_1:

:s_n = a_1 \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right).

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních n+1 členů (ve skutečnosti nás s_{n+1} příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

:s_{n+1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} = a_1 \left( 1 + q + \ldots + q^n \right)

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro s_n. V podstatě lze s_{n+1} vypočítat z s_n dvěma způsoby:

* Součet s_{n+1} má o jeden (poslední) člen více než s_n:

:s_{n+1} = s_n + a_1 q^n \,

* Závorka \left( 1 + q + \ldots + q^n \right) v s_{n+1} je vlastně závorka \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right) z s_n vynásobená q a ještě k ní je zleva přičtena 1:

:\left( 1 + q + \ldots + q^n \right) = 1 + q \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)

:Po vynásobení a_1 lze tuto skutečnost aplikovat na s_{n+1} a s_n:

:a_1 \cdot \left( 1 + q + \ldots + q^n \right) = a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot q \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)

:s_{n+1} = a_1 + q s_n \,

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat s_{n+1}. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

:s_n + a_1 q^n = a_1 + q s_n \,

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet s_n (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet s_{n+1} přestává být zajímavý):

:s_n - q s_n = a_1 - a_1 q^n \,

:s_n \left( 1 - q \right) = a_1 \left( 1 - q^n \right) \,

:s_n = a_1 \frac{ 1 - q^n }{ 1 - q }

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti #Součet prvních \'\'n\'\' členů|n-tých částečných součtů. Platí tedy :\lim_{n \to \infty} s_n =\lim_{n \to \infty} \frac{a_1}{1-q} - \lim_{n \to \infty}\frac{a_1\cdot q^n}{1-q}\rightarrow \lim_{n \to \infty}s_n = \left\{ \begin{matrix} \frac{a_1}{1-q} & \mbox{ pro } \left|q\right|

Geometrická řada tedy konverguje, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady

;Příklad Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem: 0,\overline{7}

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

0,\overline{7} = \frac{7}{10} + \frac{7}{100} + \frac{7}{1000} + ...

Pak q = \frac{1}{10} (|q| s = \frac{a_1}{1-q}

kde a_1 = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

s = \frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{7}{10-1} = \frac{7}{9}

0,\overline{7} = \frac{7}{9}

Souvislost s geometrickým průměrem

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

\ |a_n| = \sqrt

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. +more převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností

Je-li posloupnost g_n geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost \log_b g_n aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost a_n aritmetická, tak je posloupnost b^{a_n} geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články

Aritmetická posloupnost * Harmonická posloupnost * Aritmeticko-geometrická posloupnost * Mocninná řada * Logaritmická stupnice

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady