Hookův zákon

Hookův zákon - Deformace je přímo úměrná napětí materiálu. Robert Hooke Hookův zákon (též Hookeův zákon) popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. Lze jej formulovat např. ve tvaru: : Normálové napětí je přímo úměrné relativnímu prodloužení. Hookův zákon v tomto tvaru bývá také označován jako elementární Hookův zákon.

Hookův zákon platí pouze pro dokonale pružná (elastické) přetvoření, která navíc mají lineární závislost mezi napětím a deformací. Jelikož u reálných materiálů vždy dojde k překročení meze kluzu, případně meze porušení, je možno uvažovat s Hookovým zákonem pouze do tzv. +more meze úměrnosti. Za mezí kluzu je nutné uvažovat s teorií plasticity, pro viskózní materiály platí Hookův zákon pouze pro krátkodobá zatížení.

Hookův zákon je pojmenován po britském fyzikovi Robertu Hookovi, který tento zákon poprvé zapsal jako latinský anagram Ceiiinosssttuv. Roku 1676 ho formuloval latinsky jako:

Tah a tlak

Hookův zákon pro tah a tlak lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru :\varepsilon = \frac{\sigma}{E}, kde \varepsilon=\frac{\Delta l}{l} je poměrné délkové prodloužení (přičemž l označuje délku vzorku), E je modul pružnosti v tahu (Youngův modul), \sigma je mechanické napětí.

Lze se také setkat se zápisem F= -kx , kde F je působící síla, k konstanta pružnosti materiálu a x prodloužení materiálu.

Smyk

Hookův zákon pro smyk lze (pro malá napětí a malé deformace) vyjádřit ve tvaru :\gamma = \frac{\tau}{G}, kde \gamma je úhel smyku, \tau je tečné napětí a G je modul pružnosti ve smyku.

G = \frac{E}{2(1+\nu)}

Hookův zákon při obecné napjatosti

Hookův zákon při obecné (tříosé) napjatosti trojrozměrného tělesa má následný tvar:

:\varepsilon_x = \frac{1}{E} \cdot \bigg[ \sigma_x - \nu (\sigma_y +\sigma_z)\bigg] :\varepsilon_y = \frac{1}{E} \cdot \bigg[ \sigma_y - \nu (\sigma_x +\sigma_z)\bigg] :\varepsilon_z = \frac{1}{E} \cdot \bigg[ \sigma_z - \nu (\sigma_x +\sigma_y)\bigg] :\gamma_{xy} = \gamma_{yx} = \frac{\tau_{xy}}{G} :\gamma_{yz} = \gamma_{zy} = \frac{\tau_{yz}}{G} :\gamma_{zx} = \gamma_{xz} = \frac{\tau_{zx}}{G}

Přetvoření \varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z jsou závislá na normálových napětích \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, Youngovu modulu pružnosti E a Poissonově čísle \nu (někdy také označovaném \mu). Jednotlivé indexy se střídají na principu cyklické záměny. +more Smyková přetvoření (zkosení) \gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx} jsou závislá pouze na příslušném smykovém napětí (\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}) a modulu pružnosti ve smyku G.

Obecný tvar Hookova zákona

Lineární vztah mezi napětím a deformací, známý z elementárního Hookova zákona pro tah nebo smyk, lze (s použitím Einsteinova sumačního pravidla) zobecnit na lineární vztah mezi tenzorem napětí a tenzorem deformací :\sigma_{ij} = C_{ijkl}e_{kl}, kde \sigma_{ij} jsou složky tenzoru napětí, e_{kl} jsou složky tenzoru malých deformací a koeficienty C_{ijkl} vystihují vlastnosti látky (bývají označovány jako elastické koeficienty). Uvedený vztah představuje obecný tvar Hookova zákona.

Koeficienty C_{ijkl} jsou složkami tenzoru čtvrtého řádu. Počet nezávislých složek tenzoru C_{ijkl} se v důsledku symetrie tenzorů \sigma_{ij} a e_{kl} snižuje na 21. +more Takový počet elastických koeficientů je nutný pro popis chování krystalů trojklonné soustavy, tedy soustavy s nejmenší symetrií. Pro popis krystalových soustav s vyšší symetrií postačuje menší počet elastických koeficientů.

Zobecněný Hookův zákon

K popisu izotropního tělesa postačují dva nezávislé elastické koeficienty. Pro teoretické výpočty jsou voleny tzv. +more Laméovy (elastické) koeficienty \lambda a \mu, pro praktické účely jsou spíše užívány Youngův modul (modul pružnosti v tahu) E a modul pružnosti ve smyku G. Modul pružnosti ve smyku G je totožný s Laméovým koeficientem \mu. Pomocí Laméových koeficientů získá obecné vyjádření Hookeova zákona pro izotropní těleso tvar :\sigma_{ij} = \lambda\delta_{ij}e_I + 2\mu e_{ij}, kde e_I je stopa tenzoru malých deformací a \delta_{ij} je Kroneckerovo delta. Tato rovnice, která je platná pro izotropní látku, se označuje jako zobecněný Hookův zákon.

Jsou-li elastické vlastnosti látky popsány moduly E a G, lze zobecněný Hookův zákon vyjádřit jako :\sigma_{ij} = \frac{G(E-2G)}{3G-E}\delta_{ij}e_I + 2Ge_{ij}

Označíme-li stopu tenzoru napětí jako \sigma_I, pak platí :\sigma_I = (3\lambda+2\mu)e_I Po dosazení do předchozích vztahů získáme vyjádření závislosti e_{ij} na \sigma_{ij}, tzn. :e_{ij} = -\frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2\mu}\sigma_{ij} popř. +more :e_{ij} = \frac{2G-E}{2GE}\delta_{ij}\sigma_I + \frac{1}{2G}\sigma_{ij}.

Odkazy

Literatura

Encyklopedie fyziky, Martin Macháček, Praha, Mladá fronta 1995

Související články

pružnost ** modul pružnosti ** mez pružnosti, mez kluzu * pevnost (fyzika) ** mez pevnosti * trhací zkouška

Externí odkazy

Kategorie:Fyzikální zákony Kategorie:Materiálové inženýrství Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti