Keplerův trojúhelník

zlatého řezu . Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s délkami stran které tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je \sqrt{\varphi}, kde \varphi je hodnota poměru zlatého řezu. Hodnota \varphi =\frac{1+\sqrt{5} }{2}. Posloupnost velikostí stran lze zapsat: 1 : \sqrt\varphi : \varphi, nebo přibližně 1 : 1,272: 1,618. Obsahy čtverců nad stranami tohoto trojúhelníku tvoří také v geometrickou posloupnost s kvocientem \varphi tj. poměrem zlatého řezu.

Pythagorova věta a zlatý řez v trojúhelníku

Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannesu Keplerovi (1571-1630), který jako první popsal, že v tomto trojúhelníku je poměr mezi jeho přeponou a kratší odvěsnou rovný zlatému řezu. Keplerův trojúhelník kombinuje Pythagorovu větu a zlatý řez. +more To Keplera hluboce fascinovalo, řekl:.

Odvození

Skutečnost, že trojúhelník se stranami 1, \sqrt\varphi a \varphi, tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo ze vztahu kvadratické rovnice určující hodnotu zlatého řezu \varphi: : \varphi^2 = \varphi + 1 do podoby Pythagorovy věty: : (\varphi)^2 = (\sqrt\varphi)^2 + (1)^2.

Sestrojení Keplerova trojúhelníku

Metoda pro konstrukci Keplerova trojúhelníku pomocí zlatého obdélníku Keplerův trojúhelník lze Eukleidovsky sestrojit, tak že nejprve vytvoříte tzv. +more zlatý obdélník:.

# Sestrojte čtverec o straně jednotkové velikosti. # Narýsujte úsečku ze středu jedné strany čtverce do protilehlého vnitřního úhlu čtverce. +more # Tuto úsečku použijte jako poloměr k nakreslení oblouku, který určí výšku obdélníku. # Dokončete sestrojení zlatého obdélníku. # Narýsujte oblouk s poloměrem delší strany zlatého obdélníku. V místě, kde protíná oblouk protilehlou stranu obdélníku, je určena přepona Keplerova trojúhelníku.

Matematická náhoda

Zajímavá matematická náhoda: Kruh a čtverec mají přibližně stejný obvod Pokud v Keplerově trojúhelníku se stranami 1, \sqrt{\varphi}, \varphi, sestrojíme kružnici opsanou a čtverec se stranou o velikosti větší odvěsny, pak se obvody čtverce ( 4 \sqrt{\varphi} ) a kruhu ( \pi \varphi ) téměř shodují. +more Rozdíl je menší než než 0,1%.

Jedná se o matematickou náhodu (koincidenci) \pi \approx 4\,/\sqrt{\varphi}. Tento čtverec a kruh nemohou mít úplně stejný obvod, protože v takovém případě by byl člověk schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratury kruhu. +more Jinými slovy, \pi \neq 4\,/\sqrt{\varphi}, protože \pi je transcendentální číslo.

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Johannes Kepler Kategorie:Elementární geometrie