Cesko.wiki Kinetická energie
Author
Albert Floresenergii potenciální. Ta se mění dalším sjezdem dolů opět na energii kinetickou.
Kinetická energie (též pohybová energie) je jeden z druhů mechanické energie, kterou má pohybující se těleso. Je to tedy práce, kterou musíme vykonat, abychom urychlili těleso na určitou rychlost. +more Velikost kinetické energie tělesa, vykonávajícího posuvný pohyb závisí na jeho hmotnosti a rychlosti. Vykonává-li těleso rotační pohyb, závisí jeho energie na úhlové rychlosti a momentu setrvačnosti. Je-li těleso v klidu, má nulovou kinetickou energii. Protože pohyb těles je relativní, záleží hodnota energie na tom, z jaké vztažné soustavy těleso pozorujeme.
Značení
Značka: E_k, v teoretické mechanice T * Jednotka SI: joule, značka: J * Další jednotky: viz Energie
Newtonovská (klasická) kinetická energie
Kinetická energie v klasické mechanice je definována ve tvaru :E_k=\frac{1}{2}m.v^2
Odvození vztahu
Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síla \mathbf{F}, pak pohybová rovnice jde zapsat v následujícím tvaru : \mathbf{F}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}, kde \mathbf{v} je rychlost uvažovaného hmotného bodu v čase t (okamžitá rychlost). Tuto pohybovou rovnici skalárně vynásobíme rychlostí \mathbf{v} hmotného bodu (na sílu \mathbf{F} neklademe žádná omezení), čímž dostaneme : \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}. +more Jelikož platí, že : m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right), lze předchozí rovnici upravit : \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\frac{dE_k}{dt}=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}, kde E_k je kinetická energie hmotného bodu.
Protože pro element práce platí dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, pak z předchozí rovnosti vyplývá : dE_k=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=dW, a odtud integrací dostáváme : \Delta E_k=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=W.
Alternativně lze kinetickou energii také vyjádřit pomocí hybnosti \mathbf{p}=m\mathbf{v} : E_k=\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}{2m}=\frac{p^2}{2m}.
Speciální teorie relativity
V rámci speciální teorie relativity lze získat přesnější vztah : E_k = mc^2 - m_0c^2 = \left({{1\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1}\right) m_0c^2 \,, kde m je hmotnost tělesa v pohybu, m0 je klidová hmotnost, v je rychlost tělesa a c je rychlost světla. První člen v závorce je tzv. +more Lorentzův faktor.
Tento vzorec lze pomocí Taylorova rozvoje přepsat do tvaru nekonečné řady : E_k = {1\over 2}m_0v^2 + {3\over 8}m_0v^2\left({v\over c}\right)^2 + {5\over 16}m_0v^2\left({v\over c}\right)^4 + \dots \, z níž je vidět, že při rychlostech mnohem menších než c je významný jen první člen a platí newtonovský vzorec.
Vlastnosti
Kinetická energie nemůže být nikdy záporná. * Kinetická energie nezávisí na směru pohybu, ale pouze na velikosti rychlosti. +more * Kinetická energie je závislá na volbě vztažné soustavy, protože na této volbě závisí také rychlost tělesa. * Celková kinetická energie soustavy hmotných bodů je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů.
Příklad
Uvažujme izolovanou soustavu, pak platí zákon zákon zachování mechanické energie, který lze formulovat ve tvaru : \frac{dE}{dt}=\frac{d(E_k+E_p)}{dt}=0, který nám říká, že se kinetická energie v izolované soustavě mění na energii potenciální a naopak. Zaměříme-li se na homogenní tíhové pole Země (lze ho považovat za homogenní pro malé vzdálenosti od povrchu), pak tuto přeměnu lze jednoduše ilustrovat například na volném pádu z výšky h. +more :\frac{1}{2}mv(t_0)^2+mgh(t_0)=\frac{1}{2}mv(t_d)^2+mg(t_d)\implies v=\sqrt{2gh(t_0)}, kde t_0 je počáteční čas, ve kterém má těleso ve výšce h nulovou rychlost, a t_d je čas dopadu. Výsledek lze jednoduše ověřit přímým výpočtem úlohy volného pádu. Nejdříve určíme čas dopadu :h-\frac{1}{2}gt_d^2=0\implies t_d=\sqrt{\frac{2h}{g}}, čímž dosazením za rychlost dostáváme výsledek, který je v souladu se zákonem zachování energie :v(t_d)=g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gh}.