Kuratowského axiomy uzávěru

Technology

12 hours ago

Author

Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski, a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.

Definice

Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení

Nechť X je libovolná množina a \wp(X) její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace \mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X) s následujícími vlastnostmi:

{{Citát v rámečku|[K1] Zachovává prázdnou množinu: \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothing ;

[K2] je extenzivní: pro všechny A \subseteq X, je A \subseteq \mathbf{c}(A);

[K3] je idempotentní: pro všechny A \subseteq X, je \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(\mathbf{c}(A));

[K4] zachovává binární sjednocení (je vůči němu distributivní): pro všechny A,B \subseteq X, \mathbf{c}(A \cup B) = \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(B).}}

Důsledkem toho, že \mathbf{c} zachovává binární sjednocení, je {{Citát v rámečku|[K4'] je monotonní: A \subseteq B \Rightarrow \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(B) .}} Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4

] (subaditivity): {{Citát v rámečku|[K4

] je subaditivní: pro všechny A,B \subseteq X, \mathbf{c}(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(B),}} pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4

] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny x \in X, \mathbf{c}(\{x\}) = \{x\}. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T1-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. +more Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T1-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).

Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor. Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor. +more Dvojici (X, \mathbf{c}) nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy \mathbf{c} splňuje.

Alternativní axiomatizace

Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin: {{Citát v rámečku|[P] Pro všechny A,B \subseteq X, A \cup \mathbf{c}(A) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(A \cup B) \setminus \mathbf{c}(\varnothing).}}

Lze dokázat, že axiomy [K1]-[K4] vyplývají z této podmínky:

# Zvolme A = B = \varnothing. Pak \varnothing \cup \mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \mathbf{c}(\varnothing) \setminus \mathbf{c}(\varnothing) = \varnothingnebo \mathbf{c}(\varnothing) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(\varnothing)) = \varnothing. +more Z toho okamžitě plyne [K1]. # Zvolme libovolné A \subseteq X a B = \varnothing. Pak použitím axiomu [K1], A \cup \mathbf{c}(A) = \mathbf{c}(A), z čehož plyne [K2]. # Zvolme A = \varnothing a libovolné B \subseteq X. Pak použitím axiomu [K1], \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(B), což je [K3]. # Zvolme libovolné A,B \subseteq X. Použitím axiomů [K1]-[K3] odvodíme [K4].

alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]-[K4]: {{Citát v rámečku|[M] Pro všechny A,B \subseteq X, A \cup \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) \subseteq \mathbf{c}(A \cup B). }} Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud X \neq \varnothing, operátor \mathbf{c}^\star : \wp(X) \to \wp(X) definovaný přiřazením konstanty A \mapsto \mathbf{c}^\star(A) := X splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože \mathbf{c}^\star(\varnothing) = X. +more Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. +more Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]-[K4]: {{Citát v rámečku|[BT] Pro všechny A,B \subseteq X, A \cup B \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) \cup \mathbf{c}(\mathbf{c}(B)) = \mathbf{c}(A \cup B). }}.

Analogické struktury

Operátory vnitřku, vnějšku a hranice

Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení \mathbf{i} : \wp(X) \to \wp(X) vyhovující následujícím požadavkům:

{{Citát v rámečku|[I1] Zachovává celý prostor: \mathbf{i}(X) = X ;

[I2] je intenzivní: pro všechny A \subseteq X, \mathbf{i}(A) \subseteq A;

[I3] je idempotentní: pro všechny A \subseteq X, \mathbf{i}(\mathbf{i}(A)) = \mathbf{i}(A);

[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny A,B \subseteq X, \mathbf{i}(A \cap B) = \mathbf{i}(A) \cap \mathbf{i}(B).}}

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. +more vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na \wp(X), zobrazení \mathbf{n} : \wp(X) \to \wp(X) zobrazující A \mapsto \mathbf{n}(A):= X \setminus A. Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud \mathcal{I} je libovolná množina indexů a \{A_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \wp(X), pak

\mathbf{n}\left(\bigcup_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcap_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i), \qquad \mathbf{n}\left(\bigcap_{i \in \mathcal I} A_i\right) = \bigcup_{i\in \mathcal I} \mathbf{n}(A_i).

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností \mathbf{n} můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace \mathbf {c} := \mathbf{nin} (a \mathbf {i} := \mathbf{ncn}). Každý výsledek získaný pomocí \mathbf{c} lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace \mathbf{n} převést na výsledek používající \mathbf{i}.

dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku a Kuratowského operátory hranice, který relací \mathbf{c} := \mathbf{ne} a \mathbf{c}(A):= A \cup \mathbf{b}(A) zavádějí také Kuratowského uzávěry.

Abstraktní operátory

Všimněte si, že axiomy [K1]-[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci \mathbf c : L \to L na obecném omezeném svazu (L,\land,\lor,\mathbf 0, \mathbf 1), formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]-[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. +more Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor \mathbf{c} : S \to S na libovolné uspořádané množině S.

Important

ko-spočetná topologie

Diskrétní topologie

svaz (matematika)

Dolní a horní množina

Proximitní prostor

De Morganovy zákony

Matematika

Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie

Indukce topologie z uzávěru

Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť X je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina C\subseteq X je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru \mathbf{c} : \wp(X) \to \wp(X) právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru \mathbf{c}, tj. +more \mathbf{c}(C) = C . Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina \mathfrak{S}[\mathbf{c}] všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám: {{Citát v rámečku|[T1] je omezený podsvaz \wp(X), tj. X,\varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}];.

[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud \mathcal{I} je libovolná množina indexů a \{C_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}], pak \bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}];

[T3] je uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud \mathcal{I} je konečná množina indexů a \{C_i\}_{i\in\mathcal I} \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}], pak \bigcup_{i\in\mathcal I} C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]. +more|}}.

Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát \mathfrak{S}[\mathbf{c}] = \operatorname{im}(\mathbf{c}).

[T1] díky extenzivitě [K2], X\subseteq\mathbf{c}(X) a protože uzávěr převádí potenční množinu X na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina X), \mathbf{c}(X)\subseteq X máme X = \mathbf{c}(X). +more Tedy X \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}]. Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z \varnothing \in\mathfrak{S}[\mathbf{c}] .

[T2] nechť dále \mathcal{I} je libovolná množina indexů a nechť C_i je uzavřená pro každé i\in\mathcal{I}. Z extenzivity [K2], \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right). +more Také díky izotoničnosti [K4'], pokud \bigcap_{i\in\mathcal I} C_i \subseteq C_ipro všechny indexy i \in \mathcal I, pak \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \mathbf{c}(C_i) = C_i pro všechna i \in \mathcal I, z čehož plyne \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i. Proto, \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i\right) , význam \bigcap_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}].

[T3] Konečně nechť \mathcal{I} je konečná množina indexů a nechť C_i je uzavřená pro každé i\in\mathcal{I} . Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i = \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \right) . +more Tedy \bigcup_{i\in\mathcal{I}}C_i \in \mathfrak{S}[\mathbf{c}] .

Indukce uzávěru z topologie

Opačně, je-li dána rodina \kappa vyhovující axiomům [T1]-[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud A \in \wp(X) a A^\uparrow = \{B \in \wp(X)\ |\ A \subseteq B \} je horní množinou A vůči inkluzi, pak \mathbf{c}_\kappa(A) := \bigcap_{B \in (\kappa \cap A^\uparrow)} B

definuje Kuratowského operátor uzávěru \mathbf{c}_\kappa na \wp(X).

[K1] Protože \varnothing^\uparrow = \wp(X), \mathbf{c}_\kappa(\varnothing) omezuje na průnik všech množin v rodině \kappa; ale podle axiomu [T1] je \varnothing \in \kappa, takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1].

[K2] Z definice A^\uparrow plyne, že A \subseteq B pro všechny B \in \left(\kappa \cap A^\uparrow\right), a tedy A musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2].

[K3] Všimněte si, že pro všechny A \in \wp(X), rodina \mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa obsahuje \mathbf{c}_\kappa(A) samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy \mathbf{c}_\kappa^2(A) = \bigcap_{B \in \mathbf{c}_\kappa(A)^\uparrow \cap \kappa}B = \mathbf{c}_\kappa(A), což je idempotence [K3].

[K4’] Nechť A \subseteq B \subseteq X: pak B^\uparrow \subseteq A^\uparrow, a tedy \kappa \cap B^\uparrow \subseteq \kappa \cap A^\uparrow. Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme \mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(B), což je izotoničnost [K4']. +more Všimněte si, že z izotoničnost plyne \mathbf{c}_\kappa(A) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B) a \mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B), který současně znamená \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A\cup B).

[K4] Nakonec vezmeme určité A,B \in \wp(X). Z axiomu [T2] plyne \mathbf{c}_\kappa(A), \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa; navíc, axiom [T2] vyplývá, že \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa. +more Díky extenzivitě [K2] máme \mathbf{c}_\kappa(A) \in A^\uparrow a \mathbf{c}_\kappa(B) \in B^\uparrow, takže \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right). Ale \left(A^\uparrow\right) \cap \left(B^\uparrow\right) = (A \cup B)^\uparrow, tak, že všechno ve všech \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B) \in \kappa\cap (A \cup B)^\uparrow. Protože \mathbf{c}_\kappa(A \cup B) je minimálním prvkem \kappa \cap (A \cup B)^\uparrow vzhledem k inkluzi, najdeme \mathbf{c}_\kappa(A \cup B) \subseteq \mathbf{c}_\kappa(A) \cup \mathbf{c}_\kappa(B). Bod 4 zajišťuje aditivita [K4].

Přesná korespondence mezi strukturami

Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud \mathrm{Cls}_\text{K}(X) je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na X, a \mathrm{Atp}(X) je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]-[T3], pak \mathfrak{S} : \mathrm{Cls}_\text{K}(X) \to \mathrm{Atp}(X) takový, že \mathbf{c} \mapsto \mathfrak{S}[\mathbf{c}] je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení \mathfrak{C}: \kappa \mapsto \mathbf{c}_\kappa.

Nejdříve dokážeme, že \mathfrak{C} \circ \mathfrak{S} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Cls}_\text{K}(X)}, operátor identity na \mathrm{Cls}_\text{K}(X). Pro daný Kuratowského uzávěr \mathbf{c} \in \mathrm{Cls}_\text{K}(X), definuje \mathbf{c}' := \mathfrak{C}[\mathfrak{S}[\mathbf{c}]]; pak, pokud A \in \wp(X) jeho primed uzávěr \mathbf{c}'(A) je průnik všech \mathbf{c}-stabilní množiny, které obsahuje A. +more Jeho neprimed uzávěr \mathbf{c}(A) vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme A \subseteq \mathbf{c}(A), a díky idempotenci [K3] máme \mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A), a tedy \mathbf{c}(A) \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right). Nyní nechť C \in \left(A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}]\right) taková, že A \subseteq C \subseteq \mathbf{c}(A): z izotoničnosti [K4'] dostáváme \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}(C), a protože \mathbf{c}(C) = C docházíme k závěru, že C = \mathbf{c}(A). Tedy \mathbf{c}(A) je minimálním prvkem A^\uparrow \cap \mathfrak{S}[\mathbf{c}] vzhledem k inkluzi, z čehož plyne \mathbf{c}'(A) = \mathbf{c}(A).

Nyní dokážeme, že \mathfrak{S} \circ \mathfrak{C} = \mathfrak{1}_{\mathrm{Atp}(X)}. Pokud \kappa \in \mathrm{Atp}(X) a \kappa':= \mathfrak{S}[\mathfrak{C}[\kappa]] je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči \mathbf{c}_\kappa, dostáváme, pokud oba \kappa' \subseteq \kappa a \kappa \subseteq \kappa'. +more Nechť A \in \kappa': tedy \mathbf{c}_\kappa(A) = A. Protože \mathbf{c}_\kappa(A) je průnik libovolné podrodiny \kappa, a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak A = \mathbf{c}_\kappa(A) \in \kappa. Opačně, pokud A \in \kappa, pak \mathbf{c}_\kappa(A) je minimální nadmnožina A, která je obsažena v \kappa. Ale to je triviálně samotné A, z čehož plyne A \in \kappa'.

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci \mathfrak{S} na kolekci \mathrm{Cls}_{\check C}(X) všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje \mathrm{Cls}_\text{K}(X); toto rozšíření \overline{\mathfrak{S}} je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na X indukují také topologii na X. To však znamená, že \overline{\mathfrak{S}} už není bijekcí.

Příklady

Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor X, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny A \subseteq X jako množinu \mathbf{c}(A)=\bigcap\{C\text{ uzavřená podmnožina }X| A\subseteq C\}, tj. průnik všech uzavřených množin X které obsahují A. +more Množina \mathbf{c}(A) je nejmenší uzavřenou množinou X obsahující A, a operátor \mathbf{c}:\wp(X) \to \wp(X) je Kuratowského operátor uzávěru. * Pokud X je jakákoli množina, operátory \mathbf{c}_\top, \mathbf{c}_\bot : \wp(X) \to \wp(X) takové, že \mathbf{c}_\top(A) = \begin{cases} \varnothing & A = \varnothing, \\ X & A \neq \varnothing, \end{cases} \qquad \mathbf{c}_\bot(A) = A\quad \forall A \in \wp(X),jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii \{\varnothing,X\}, zatímco druhý zavádí diskrétní topologii \wp(X).

* Vezmeme libovolné S \subsetneq X, a nechť \mathbf{c}_S: \wp(X) \to \wp(X) je takové, že \mathbf{c}_S(A) := A \cup S pro všechny A \in \wp(X). Pak \mathbf{c}_S definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin \mathfrak{S}[\mathbf{c}_S] se shoduje s S^\uparrow, rodinou všech podmnožin, které obsahují S. +more Když S = \varnothing, znovu získáme diskrétní topologii \wp(X) (tj. \mathbf{c}_{\varnothing}=\mathbf{c}_\bot, jak je vidět z definice). * Pokud \lambda je nekonečné kardinální číslo takové, že \lambda \leq \operatorname{crd}(X), pak operátor \mathbf{c}_\lambda : \wp(X) \to \wp(X) takový, že\mathbf{c}_\lambda(A) = \begin{cases} A & \operatorname{crd}(A) vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům. Důkaz pro případ \lambda = \aleph_0 lze nalézt v Pokud \lambda = \aleph_0, tento operátor zavádí kofinitní topologii na X; pokud \lambda = \aleph_1, pak zavádí ko-spočetnou topologii.

Vlastnosti

Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci \langle \mathbf{c}: \wp(X) \to \mathrm{im}(\mathbf{c});\iota : \mathrm{im}(\mathbf{c}) \hookrightarrow \wp(X) \rangle, za předpokladu, že chápeme \wp(X)jako množinu uspořádanou inkluzí, a \mathrm{im}(\mathbf{c}) jako uspořádaná podmnožina \wp(X). Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny A \in \wp(X) a C \in \mathrm{im}(\mathbf{c}), \mathbf{c}(A) \subseteq C právě tehdy, když A \subseteq \iota(C). +more * Pokud \{A_i\}_{i\in\mathcal I} je podrodina \wp(X), pak \bigcup_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i) \subseteq \mathbf{c}\left(\bigcup_{i\in\mathcal I} A_i\right), \qquad \mathbf{c}\left(\bigcap_{i\in\mathcal I} A_i\right) \subseteq \bigcap_{i\in\mathcal I} \mathbf{c}(A_i). * Pokud A,B \in \wp(X), pak \mathbf{c}(A) \setminus \mathbf{c}(B) \subseteq \mathbf{c}(A\setminus B).

Topologické koncepty používající uzávěr

Zjemnění a podprostory

Dvojice Kuratowského uzávěrů \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 : \wp(X) \to \wp(X) takových, že \mathbf{c}_2(A) \subseteq \mathbf{c}_1(A) pro všechny A \in \wp(X) indukuje topologii \tau_1,\tau_2 takovou, že \tau_1 \subseteq \tau_2, a naopak. Jinými slovy \mathbf{c}_1 dominuje \mathbf{c}_2 právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně \mathfrak{S}[\mathbf{c}_1] \subseteq \mathfrak{S}[\mathbf{c}_2]. +more Například \mathbf{c}_\top jasně dominuje \mathbf{c}_\bot( druhý pouze je identity na \wp(X)). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí \tau_i s rodinou \kappa_i obsahující komplementy všech členů, pokud je na \mathrm{Cls}_\text{K}(X) definováno částečné uspořádání \mathbf{c} \leq \mathbf{c}' \iff \mathbf{c}(A) \subseteq \mathbf{c}'(A) pro všechny A \in \wp(X) a \mathrm{Atp}(X) je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že \mathfrak{S} je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: \mathbf{c}_A(B) = A \cap \mathbf{c}_X(B) , pro všechny B \subseteq A.

Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy

Funkce f:(X,\mathbf{c})\to (Y,\mathbf{c}') je spojitá v bodě p právě tehdy, když p\in\mathbf{c}(A) \Rightarrow f(p)\in\mathbf{c}'(f(A)), a všude spojitá právě tehdy, když f(\mathbf{c}(A)) \subseteq \mathbf{c}'(f(A)) pro všechny podmnožiny A \in \wp(X). Zobrazení f je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze, a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. +more právě tehdy, když platí rovnost.

Oddělovací axiomy

Nechť (X, \mathbf{c}) je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

* X je T0-prostor právě tehdy, když z x \neq y plyne \mathbf{c}(\{x\}) \neq \mathbf{c}(\{y\}); * X je T1-prostor právě tehdy, když \mathbf{c}(\{x\})=\{x\} pro všechny x \in X; * X je T2-prostor právě tehdy, když z x \neq y vyplývá, že existuje množina A \in \wp(X) taková, že x \notin \mathbf{c}(A) a zároveň y \notin \mathbf{c}(\mathbf{n}(A)), kde \mathbf{n} je operátor množinového doplňku.

Blízkost a oddělenost

Bod p je blízký k podmnožině A, pokud p\in\mathbf{c}(A). To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.

Dvě množiny A,B \in \wp(X) jsou oddělené právě tehdy, když (A \cap \mathbf{c}(B)) \cup (B \cap \mathbf{c}(A)) = \varnothing. Prostor X je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.

Odkazy

Poznámky

Reference

Související články