Cesko.wiki Lipschitzovsky spojité zobrazení
Author
Albert FloresLipschitzovsky spojité zobrazení, nebo také lipschitzovské zobrazení, je zesílením stejnoměrně spojitého zobrazení na metrických prostorech. Jméno je podle německého matematika Rudolfa Lipschitze.
Definice
Lipschitzovsky spojité zobrazení je takové zobrazení f: M \rightarrow N mezi metrickými prostory (M,d_M) a (N,d_N), že existuje konstanta K > 0 a platí
:d_N(f(x) , f(y)) \leq K \ d_M(x, y)
pro každé x, y \in M. Nejmenší taková konstanta K se nazývá lipschitzovská konstanta.
Lipschitzovsky spojité zobrazení s lipschitzovskou konstantou K se nazývá kontraktivní zobrazení, nebo kontrakce.
Lipschitzovsky spojité funkce
Funkce f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} je lipschitzovsky spojitá, nebo lipschitzovská, pokud existuje konstanta K > 0 a pro každé x, y \in \Omega platí
: |f(x) - f(y)| \leq K |x - y|.
Množina všech lipschitzovsky spojitých funkcí na oblasti \Omega se značí \mathcal{C}^{0,1}(\Omega).
Vlastnosti
Každé lipschitzovsky spojité zobrazení je stejnoměrně spojité a tedy i spojité.
Lipschitzovsky spojitá funkce je již diferencovatelná skoro všude na \Omega.