Výrok (logika)

Technology

12 hours ago

Author

Z hlediska nižší logiky je výrok každé sdělení (gramaticky vyjádřené oznamovací větou), o němž má smysl tvrdit, že je pravdivé (platí), nebo nepravdivé (neplatí). K označení výroků se užívá písmen (např. p; q) nebo matematických symbolů a značek (např. 0). Výroku je přiřazena pravdivostní hodnota (je pravda = 1; není pravda = 0).

Hypotéza (domněnka) je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout, zda je pravdivý či nepravdivý, ale víme jistě, že jedna z těchto dvou možností nastane.

Pokud tvrzení obsahuje jednu nebo více proměnných (např. x), není to výrok, ale výroková forma, výroková funkce nebo predikát (viz predikátová logika). +more Výrokem se stane dosazením hodnot všem proměnným.

=== Jednoduchý (atomický) výrok === Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. (např. +more „Jmenuji se Jan. “, „Včera pršelo. “, „79 je prvočíslo“). Jsou z logického hlediska dále nedělitelné a jsou prezentovány výrokovými proměnnými (nebo také výrokovými symboly).

=== Složený výrok (formule) === Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek.

==== Základní logické spojky ====

Výroky označujeme velkými písmeny. * negace: \lnot A, slovně „není pravda A“ * konjunkce: \textstyle A \land B, také AND, slovně „A a současně B“ * disjunkce neboli alternativa - \textstyle A \lor B, také OR, slovně „A nebo B“ * implikace - A \Rightarrow B, slovně „jestliže A, potom (pak) B“ * ekvivalence - A \Leftrightarrow B, slovně „A právě tehdy, když B“, nebo „A tehdy a jen tehdy B“ Konkrétní příklady výrokových spojek

* V centru Opavy prší a zároveň svítí slunce. (konjunkce) * V centru Opavy prší nebo svítí slunce. +more (disjunkce) * Jestliže je číslo x dělitelné čtyřmi, pak je i dělitelné dvěma. (implikace) * Agáta je hezká a zároveň chytrá. (konjunkce).

=== Negace === Negace A výroku je výrok \lnot A, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok A. Slovně: není pravda, že...

Konjunkce a disjunkce se negují podle De Morganových zákonů.

Logická operace	Výroková formule	Negace
konjunkce	A ∧ B	non(A ∧ B) ⇔ nonA ∨ nonB
disjunkce	A ∨ B	non(A ∨ B) ⇔ nonA ∧ nonB

=== Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků === Pravdivostní tabulka pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:

A	B	nonA	nonB	A ∧ B	A ∨ B	A ⇒ B	A ⇔ B
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí (výroků) a logickými spojkami, které jsou v něm obsaženy.

Je-li konjunkce (\textstyle A \land B) dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá (nebo obě).

Je-li disjunkce (\textstyle A \lor B) dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé. Je-li disjunkce dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá (nebo obě).

Je-li implikace (A \Rightarrow B) dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý. Implikace A B může být vyjádřena mnoha různými způsoby, všechny ale říkají → z logického pohledu totéž:

* Jestliže A, pak B * Když A, tak B * Pokud A, tak B.

Je-li ekvivalence (A \Leftrightarrow B) dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé, tj. mají stejnou pravdivostní hodnotu. +more Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.

=== Pravdivost celé formule === Spojení výroků (celou formuli) lze vyhodnotit analogicky. Pokud existuje formule (p\Rightarrow q)\land r, tak ve chvíli, kdy vyhodnotíme formuli (p\Rightarrow q)\land r například na pravdivá (= 1), tak dostáváme klasickou konjunkci 1 ∧ r, kterou už lze řešit (viz tabulka)

Postupnou aplikací nejjednodušších výrokových spojek lze získat výslednou pravdivostní hodnotu celé formule. Často se používá tzv. tabulková metoda.

==== Méně běžné spojky ==== Kromě výše uvedených se v počítačové technice používají i další spojky: * XOR (z angl. exclusive OR), viz exkluzivní disjunkce * NAND, negovaný AND, viz hradlo NAND * NOR, negovaný OR, viz hradlo NOR

=== Kvantifikovaný výrok ===

Kvantifikovaný výrok je takový výrok, který udává počet. Obecný kvantifikátor (symbol ∀ - čteme „každý“, „všechny“, „libovolný“) a existenční či (symbol ∃ - čteme „existuje“, „někteří“. +more ).