Výrok (logika)

Technology

12 hours ago

Author

Z hlediska nižší logiky je výrok každé sdělení (gramaticky vyjádřené oznamovací větou), o němž má smysl tvrdit, že je pravdivé (platí), nebo nepravdivé (neplatí). K označení výroků se užívá písmen (např. p; q) nebo matematických symbolů a značek (např. 0). Výroku je přiřazena pravdivostní hodnota (je pravda = 1; není pravda = 0).

Hypotéza (domněnka) je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout, zda je pravdivý, či nepravdivý, ale víme jistě, že jedna z těchto dvou možností nastane.

Pokud tvrzení obsahuje jednu nebo více proměnných (např. x), není to výrok, ale výroková forma, výroková funkce nebo predikát (viz predikátová logika). +more Výrokem se stane dosazením hodnot všem proměnným.

=== Jednoduchý (atomický) výrok === Jednoduché (atomické nebo elementární) výroky jsou výroky, které neobsahují logické spojky. (např. +more „Jmenuji se Jan. “, „Včera pršelo. “, „79 je prvočíslo“). Jsou z logického hlediska dále nedělitelné a jsou prezentovány výrokovými proměnnými (nebo také výrokovými symboly).

=== Složený výrok (formule) === Složené výroky jsou výroky, které vznikly z jednoduchých výroků použitím logických spojek.

==== Základní logické spojky ====

Výroky označujeme velkými písmeny. * negace: \lnot A, slovně „není pravda A“ * konjunkce: \textstyle A \land B, také AND, slovně „A a současně B“ * disjunkce neboli alternativa - \textstyle A \lor B, také OR, slovně „A nebo B“ * implikace - A \Rightarrow B, slovně „jestliže A, potom (pak) B“ * ekvivalence - A \Leftrightarrow B, slovně „A právě tehdy, když B“, nebo „A tehdy a jen tehdy B“ Konkrétní příklady výrokových spojek

* V centru Opavy prší a zároveň svítí slunce. (konjunkce) * V centru Opavy prší nebo svítí slunce. +more (disjunkce) * Jestliže je číslo x dělitelné čtyřmi, pak je i dělitelné dvěma. (implikace) * Nakupuji právě tehdy, když mám peníze. (ekvivalence).

=== Negace === Negace A výroku je výrok \lnot A, ten má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok A. Slovně: není pravda, že...

Konjunkce a disjunkce se negují podle De Morganových zákonů.

Logická operace	Výroková formule	Negace
konjunkce	A ∧ B	non(A ∧ B) ⇔ nonA ∨ nonB
disjunkce	A ∨ B	non(A ∨ B) ⇔ nonA ∧ nonB

=== Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků === Pravdivostní tabulka pro negaci, konjunkci, disjunkci, implikaci a ekvivalenci dvou výroků:

A	B	nonA	nonB	A ∧ B	A ∨ B	A ⇒ B	A ⇔ B
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Pravdivost složeného výroku je dána pravdivostní hodnotou jeho částí (výroků) a logickými spojkami, které jsou v něm obsaženy.

Je-li konjunkce (\textstyle A \land B) dvou výroků pravdivá, pak obě její části musí být pravdivé. Je-li konjunkce dvou výroků nepravdivá, pak alespoň jedna její část je nepravdivá (nebo obě).

Je-li disjunkce (\textstyle A \lor B) dvou výroků nepravdivá, pak obě její části musí být nepravdivé. Je-li disjunkce dvou výroků pravdivá, pak alespoň jedna její část musí být pravdivá (nebo obě).

Je-li implikace (A \Rightarrow B) dvou výroků nepravdivá, pak její první člen je pravdivý a druhý nepravdivý. Implikace A B může být vyjádřena mnoha různými způsoby, všechny ale říkají → z logického pohledu totéž:

* Jestliže A, pak B * Když A, tak B * Pokud A, tak B.

Je-li ekvivalence (A \Leftrightarrow B) dvou výroků pravdivá, znamená to, že oba její členy jsou pravdivé, nebo oba nepravdivé, tj. mají stejnou pravdivostní hodnotu. +more Je-li ekvivalence dvou výroků nepravdivá, pak její členy nabývají různých pravdivostních hodnot.

=== Pravdivost celé formule === Spojení výroků (celou formuli) lze vyhodnotit analogicky. Pokud existuje formule (p\Rightarrow q)\land r, tak ve chvíli, kdy vyhodnotíme formuli (p\Rightarrow q) například na pravdivá (= 1), tak dostáváme klasickou konjunkci 1 ∧ r, kterou už lze řešit (viz tabulka)

Postupnou aplikací nejjednodušších výrokových spojek lze získat výslednou pravdivostní hodnotu celé formule. Často se používá tzv. tabulková metoda.

==== Méně běžné spojky ==== Kromě výše uvedených se v počítačové technice používají i další spojky: * XOR (z angl. exclusive OR), viz exkluzivní disjunkce * NAND, negovaný AND, viz hradlo NAND * NOR, negovaný OR, viz hradlo NOR

=== Kvantifikovaný výrok ===

Kvantifikovaný výrok je takový výrok, který udává počet. Obecný kvantifikátor (symbol ∀ - čteme „každý“, „všechny“, „libovolný“) a existenční či (symbol ∃ - čteme „existuje“, „někteří“. +more ).

Definiční obor a obor pravdivosti

Definiční obor výroku je množina vstupních hodnot, pro kterou dává daný výrok smysl.

Obor pravdivosti je množina vstupních hodnot, pro kterou je výrok pravdivý. Tato množina tvoří podmnožinu definičního oboru.

Příklad

V: x > 5

D(V) ∈ R

P(V) = (5;∞)

Máme tedy výrok x > 5. Definičním oborem tohoto výroku (D(V)) je množina všech reálných čísel, kdežto oborem pravdivosti je množina čísel od 5 do nekonečna (P(V)). +more Množina pravdivosti, je tedy podmnožinou definičního oboru.