Cesko.wiki Extenzionální relace
Author
Albert FloresExtenzionální relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.
Definice
Nechť R je binární relace na třídě A. Dále označme R^{-1}[y]=\{x;\,x R y\}. +more Relace R se nazve extenzionální, splňuje-li: (\forall y,z\in A)(R^{-1}[y]=R^{-1}[z] \Rightarrow y=z).
Příklady
Relace \in na univerzální třídě \mathbb{V} je extenzionální díky axiomu extenzionality. * Relace \, i \leq na množině přirozených, celých, racionálních, reálných či ordinálních čísel jsou všechny extenzionální. +more Obecněji každé lineární uspořádání je extenzionální relace. * Relace „x dělí y“ je extenzionální na množině přirozených čísel, přestože zde není lineárním uspořádáním. Na množině celých čísel tatáž relace extenzionální není - každá dvě čísla \,m, -m mají stejné dělitele, ale nejsou si rovna.
Mostowského věta o kolapsu
Mostowského věta o kolapsu říká, že extenzionalita je jednou ze (tří) základních vlastností relace \in, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:
Nechť R je relace 'úzká', extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury \,\langle A;R\rangle a \langle T;\in\rangle jsou izomorfní (tj. +more existuje \phi:A \rightarrow T bijekce, že \,xRy \Leftrightarrow \phi(x)\in\phi(y)).