Gaussova věta

Gaussova-Ostrogradského věta (Věta o divergenci) je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi plošným integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes orientovanou plochu a objemovým integrálem divergence vektorového pole přes regulární oblast. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Autorem Gaussovy-Ostrogradského věty je Johann Gauss a dokázal ji Michail Vasiljevič Ostrogradskij.

Znění věty

Je-li \mathbf{F}(x,y,z)=[F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)] vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na omezené regulární oblasti V ohraničené uzavřenou jednoduše souvislou po částech hladkou kladně orientovanou plochou S, pak platí:

:\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \ \mathrm{d}S = \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F}) \ \mathrm{d}V = \iiint_V (\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z,

kde \nabla\cdot\mathbf{F} je divergence vektorového pole \mathbf{F}.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektorového pole \mathbf{F} uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence pole \mathbf{F}, neboli velikosti součtu zřídel a propadů pole v oblasti plochou uzavřenou.

Reference

Související články

Fubiniova věta

Externí odkazy

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy