Kořen (matematika)

Graf polynomiální funkce f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4 se dvěma kořeny -4 a 1. Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce f, v němž funkce f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. +more osu x souřadnicového systému.

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li a kořenem polynomu P(x), pak (x - a)dělí P(x) a tedy \frac{P(x)}{(x-a)} je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. +more polynom x^2 + 1 nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení: x^2 + 1 = 0; x^2 = -1; x = \pm i .

Metody výpočtu

Přímý výpočet

Je-li lineární polynom (P(x) = ax + b; kde a \neq 0, b jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo x_0 =- \frac{b}{a}.

Pro kvadratický polynom (P(x) = ax^2 + bx + c), existují obecně dva kořeny x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Příklad1: rovnice v součinném tvaru (2x + 1)(x - 3) =0

řešení:

2x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2};

x -3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.

Příklad2: x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = 0 , hledané řešení: x\in R

x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = 0 = (x - a)(x^2 + px + q) , kde a je kořen a p,q \in R,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = 0 = x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x -aq

porovnáním koeficientů u stejné mocniny x vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

3 = p - a

2 = q- ap

6 = - aq

Vyřešené hodnoty a = -3; p = 0; q = 2 lze dosadit do rovnice

x^3 + 3x^2 + 2x + 6 = 0 = x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x -aq = (x + 3)(x^2 +2)

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo x_1 = -3, kvadratická rovnice x^2 + 2 = 0 nemá v oboru R řešení.

Aproximace

Najdeme-li dva body x_1 a x_2, pro které platí \sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2)), kde \sgn značí znaménkovou funkci signum (P(x_1)P(x_2)), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu (x_1,x_2), (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

Příklady

Funkce f(x) = e^x (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen. * Funkce f(x) = sin (x) (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Reference

Externí odkazy

[url=http://www.mathematik.net/wurzelgleichungen/uebungen/uebung-wurzelgleich.pdf]Řešené příklady[/url](německy)

Kategorie:Algebra * Kategorie:Matematická analýza