Kvantil

Technology

12 hours ago

Author

Příklad distribuční funkce s vyznačenými kvantily Q0,2, Q0,4, Q0,6, Q0,8 Kvantil (z lat. quantilis, jak malý/velký?) je ve statistice charakteristika datového souboru reálných čísel nebo rozdělení náhodné proměnné udávající hodnotu, kterou stanovená část p (uváděná jako číslo z intervalu \langle 0; 1 \rangle nebo v procentech v rozmezí 0-100 %) hodnot nepřesahuje. Je také možné říct, že kvantily jsou hodnoty, které dělí soubor seřazených (například naměřených) hodnot na několik zhruba stejně velkých částí. Příklad: výrok, že 90 % účastníků závodu mělo čas pod 2 hodiny, vlastně konstatuje, že 90. percentil (nebo devátý decil) dosažených časů je 2 hodiny. Výrok, že medián hrubé měsíční nominální mzdy je 34360 Kč, znamená, že polovina osob, které pobírají mzdu, má hrubou měsíční nominální mzdu nejvýše 34360 Kč, druhá polovina má mzdu vyšší.

Protože pro daný datový soubor nebo rozdělení pravděpodobnosti závisí hodnota kvantilu na velikosti stanovené části p, je možné kvantil chápat jako binární relaci (za určitých podmínek funkci) mezi p a množinou hodnot určitého (přinejmenším pořadového) statistického znaku nebo náhodné veličiny. Pokud funkce, která udává vztah mezi p a Qp, existuje, nazýváme ji kvantilová funkce. +more Jde o inverzní funkci k distribuční funkci.

Kvantil je míra polohy rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Popisují body, ve kterých distribuční funkce náhodné proměnné prochází danou hodnotou.

Definice

Kvantily tvoří vlastně inverzní funkci k funkci distribuční. V případě spojitého rozdělení s distribuční funkcí F(x) je kvantil Qp takové číslo, pro které platí :P(X ≤ Qp) = p, tedy F(Qp) = p. +more Pokud je distribuční funkce rostoucí (tedy i prostá), lze kvantil psát přímo jako inverzní funkci: :Qp = F−1(p).

Distribuční funkce však nemusí být prostá (byť je vždy neklesající), takže tuto definici nelze použít vždy. U diskrétních rozdělení pak ani vždy nemusí existovat bod, kde by distribuční funkce dosahovala přesně požadované hodnoty. +more Obecněji se proto kvantil Qp definuje jako takové číslo, pro které platí, že :P(X ≤ Qp) ≥ p a zároveň P(X p) ≤ p, distribuční funkcí to lze vyjádřit jako :F(Qp+) = F(Qp) ≥ p a zároveň F(Qp−) ≤ p.

Ani tato obecná definice však přesně neurčuje kvantil v případě, že distribuční funkce není prostá. V takovém případě může jedné hodnotě p odpovídat několik čísel Qp, která tuto definici splňují. +more To se zpravidla nepovažuje za problém, někdy se definice doplňuje o způsob výběru jednoznačné hodnoty, např. největší (příp. nejmenší) z těchto čísel, jejich průměr apod. , jedná se však jen o konvence bez nějakého hlubšího matematického významu.

Speciální označení kvantilů

Kvantily pro některé význačné hodnoty jsou označovány zvláštními jmény a pro nejdůležitější rozdělení jsou hodnoty základních kvantilů uváděny v tabulkách.

Medián

Kvantil rozdělující statistický soubor na dvě stejně početné množiny se nazývá medián, tzn. jedná se o kvantil Q_{0,5}.

Tercil

Dva tercily rozdělují statistický soubor na třetiny. 1/3 prvků má hodnoty menší nebo rovné hodnotě prvního tercilu, 2/3 prvků mají hodnoty menší nebo rovné hodnotě tercilu druhého.

Kvartil

Tři kvartily rozdělují statistický soubor na čtvrtiny. 25 % prvků má hodnoty menší než dolní kvartil Q_{0,25} a 75 % prvků hodnoty menší než horní kvartil Q_{0,75}; někdy se označují Q_1 a Q_3.

Kvartilová odchylka je jedna z měr určující variabilitu znaku ve statistickém znaku souboru. Rovná se polovině rozdílu horního a dolního kvartilu.

Kvintil

Čtyři kvintily dělí statistický soubor na pět stejných dílů. 20 % prvků souboru má hodnoty menší (nebo rovné) hodnotě prvního kvintilu, 80 % hodnoty větší (nebo rovné).

Decil

Decil dělí statistický soubor na desetiny. Jako ktý decil označujeme Q_{k/10}.

Percentil

Histogram výskytů a percentilu pro 10 účastníků s výsledným skóre 1 až 7 bodů Percentil dělí statistický soubor na setiny. +more Jako k-tý percentil označujeme Q_{k/100}. Používá se například při vyhodnocení testů: Pokud má účastník umístění na 85. percentilu, znamená to, že 85 % účastníků mělo horší výsledek (a 15 % účastníků je lepších nebo stejných jako on [včetně jeho samého]). Znamená to, že účastník s nejlepším umístěním nebude mít percentil 100 %, ale nižší (o část vyjadřující procento jeho vlastního podílu na výsledku). Percentil tak vypočteme:.

:PR = \frac{CF - (0.5 \times F)}{N} \times 100

Kde PR je hodnota percentilu, CF je kumulativní počet výsledků a F je počet výskytů počítaného výsledku (percentilu), viz obrázek vpravo.

Charakteristiky variability

Hodnoty kvantilů představují charakteristiky polohy. Znalosti kvantilů lze však použít i k určení charakteristiky variability.

Mezikvartilové rozpětí

Pomocí horního a dolního kvartilu lze zavést mezikvartilové rozpětí, které definujeme jako hodnotu Q_{0,75}-Q_{0,25}.

Mezidecilové rozpětí

Pomocí decilů lze zavést mezidecilové rozpětí, které je definováno jako Q_{0,9}-Q_{0,1}.

Mezipercentilové rozpětí

Pomocí percentilů lze zavést mezipercentilové rozpětí, které je definováno jako Q_{0,99}-Q_{0,01}.

Použití

Kvantily lze používat např. pro vyhodnocování přijímacích testů: bodové výsledky všech zájemců tvoří statistický soubor, zatímco příslušné kvantily označují, jaká část zájemců dosáhla daného výsledku. +more Pokud například kvantil 90 % má hodnotu 150 bodů a některý student v testu získal právě 150 bodů, ví, že má lepší hodnocení než 90 % všech studentů (je tedy mezi 10 % nejlepších a pokud má být přijato např. 15 % zájemců, měl by se kvalifikovat).