Laplaceův operátor

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Laplaceův operátor (nebo jen Laplace) je diferenciální operátor ve vektorové analýze, definovaný jako divergence gradientu daného skalárního, nebo obecně tenzorového pole. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je opět skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Bývá označován symbolem \Delta.

Laplace je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Matematický popis

Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla, resp. pomocí operátorů divergence a gradientu, má tvar

:\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \mathrm{div} \, \mathrm{grad}.

Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, v n-rozměrném euklidovském prostoru se zapisuje jako

:\Delta = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial x^2_i}

nebo speciálně

:\Delta = \frac{\partial^2} {\partial x^2} + \frac{\partial^2} {\partial y^2} + \frac{\partial^2} {\partial z^2}.

v prostoru trojrozměrném euklidovském.

Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru, které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu. Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor, značí se symbolem \squareVýjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem \square^2; symbol \square je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. +more čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla. a má tvar.

:\square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

: \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

Ve sférických souřadnicích:

: \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2},

nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích

: \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejichž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3, je vyjádření Laplaceova operátoru

:\Delta f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial }{\partial x_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_2} \left( \frac{h_1 h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x_3}\right) \right)

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu, tedy

: \Delta {f} = \left( f_{;i} g^{ik} \right)_{;k} = {{f}^{;k}}_{;k}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{g}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right),

kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru. Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.

Zobecnění

Pro p>1 se diferenciální operátor \Delta _pu=\nabla\cdot(||\nabla u||^{p-2}\nabla u)nazývá p-Laplacián. Pro p=2 se p-Laplacián redukuje na klasický Laplaceův operátor.