Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení \R^*\,\! ) je název používaný v matematické analýze pro množinu \R\cup \{+\infty, -\infty \} \,\! , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce y = \lim_{x\to x_0}f(x)\,\. +more je potřeba ošetřit celkem devět možností: x_0\,\. i y\,\. může být reálné číslo, -\infty \,\. nebo +\infty \,\. ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání

Aritmetické operace

Sčítání a odčítání

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. +more \infty + (-4) = \infty - 4 . * \forall x \in \R^* \setminus \{-\infty\} : (\infty + x) = (x + \infty) = \infty .

* \forall x \in \R^* \setminus \{\infty\} : (-\infty + x) = (x + (-\infty)) = -\infty

* - (\infty) = - \infty * -(-\infty) = \infty Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). +more To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. -(4)= - 4 a také -(-\pi) = \pi .

Násobení a dělení

\forall x \in \R^*, x>0 : (\pm\infty) * x = x * (\pm\infty) = \pm\infty * \forall x \in \R^*, x * \forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0 I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. +more 4 * (-8) = -32 nebo (-7) * (-2) = 14 , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, 10^{10} , -10^{1000} atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota

|\pm\infty| = \infty Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např. * \infty + (- \infty) * (-\infty) + \infty * \pm\infty * 0 * 0*\pm\infty * \left ( \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \right ) * \left ( \frac{x}{0} \right ) , \forall x \in \R^* Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. +more Pokusme se definovat \left ( \frac{x}{0} \right ) obdobně, jak jsme definovali, že \forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0 . Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla - 0,1 ; 0,0001; - 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém - zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k \infty a - \infty . A bohužel nelze říci, zdali by výsledek \left ( \frac{x}{0} \right ) měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. +more 4 > 3 ; e ; \left ( \frac{3125}{625} \right ) = \left ( \frac{65}{13} \right ) . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky +\infty , -\infty * \forall x \in \R : - \infty * \forall x \in \R : \infty > x * - \infty.

\varepsilon-okolí

Pojem „\varepsilon-\,\! okolí bodu x\,\! “ je označován U_\varepsilon(x)\,\! a má tuto definici:

Pro každé x \in \R^*\,\. a \varepsilon \in \R^+\,\. +more je * U_\varepsilon(x) = ( x - \varepsilon, x + \varepsilon ) \,\. pokud x \in R\,\. * U_\varepsilon(x) = \left\langle -\infty, -{1 \over \varepsilon} \right)\,\. pokud x =-\infty \,\. * U_\varepsilon(x) = \left( {1 \over \varepsilon}, +\infty \right\rangle \,\. pokud x =+\infty \,\. .

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako P_\varepsilon(x) = U_\varepsilon(x)-\{x\} \,\! .

Okolí vs. \varepsilon-okolí

Množina A\subseteq \R^* \,\. se nazývá okolím bodu x \in \R^* \,\. +more , pokud obsahuje \varepsilon-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na \R^*\,\! lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na \R\subsetneq\R^* \,\. +more) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení d(x,y) = |\operatorname{arctan}(x)- \operatorname{arctan}(y)| \,\. , pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že \operatorname{arctan}(+\infty) = {\pi\over 2} \, \operatorname{arctan}(-\infty) = -{\pi\over 2} \,\.

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\! pro konečné i nekonečné a .

Budiž a_n \,\! posloupnost reálných čísel a a\in\R^*\,\!. Řekneme, že a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\! , pokud ::(\forall\epsilon\in\R^*)(\exist n_0\in\N)(\forall n>n_0) a_n\in U_\epsilon(a)\,\!

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné x_0 a y:

Je-li f : D_f \subseteq \R\to\R\,\. funkce, y\in R^* a x_0\in R^* takové, že x_0 leží v uzávěru D_f \,\. +more ( definiční obor D_f \,\. sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na R^* - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že.

: y = \lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon\in\R^+\exist\delta\in\R^+:f[P_\delta(x_0)] \subseteq P_\epsilon(f(x_0)) \,\!

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí U_1 bodu y existuje prstencové okolí P_2 bodu x_0 takové, že obraz P_2 leží v U_1 (tj. f[P_2] \subseteq U_1\,\. +more ).

Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby U_\epsilon(x)\subseteq U_1\,\. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci \delta s příslušnou vlastností; poté P_2 zvolme jako P_\delta(x). +more Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme U_1= U_\epsilon(x) a \delta zvolíme tak, aby P_\delta(x)\subseteq P_2.

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Nekonečno Kategorie:Reálná čísla